자연계열 3번

(3-1) 함수 $\displaystyle g(x)$가 $\displaystyle x=0$에서 연속이고 미분가능하므로 다음을 알 수 있다.$\displaystyle f(0)=1$, $\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac12$

그러므로 적당한 실수 $\displaystyle \alpha$에 대하여$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x(x-\alpha)+\frac12$, $\displaystyle f(x)=x^3-\frac32\alpha x^2+\frac12x+1$이다. 그러므로 다음을 얻는다.

$\displaystyle g(2)-g^{\prime}(2)=f(2)-f^{\prime}(2)=10-6\alpha-\left(12-6\alpha+\frac12\right)=-\frac52$

① $\displaystyle D<0$인 경우: $\displaystyle -\frac{\sqrt6}{3}<\alpha<\frac{\sqrt6}{3}$이고, 방정식 (1)이 실근이 존재하지 않으며 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이므로 $\displaystyle g(x)$는 실수 전체의 집합에서 증가한다. (아래 그림)

② $\displaystyle D=0$인 경우: $\displaystyle \alpha=\pm\frac{\sqrt6}{3}$이고, 방정식 (1)은 중근을 갖는다. 이 때$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2\mp\sqrt6x+\frac12=\left(\sqrt3x\mp\frac{\sqrt2}{2}\right)^2$이므로 $\displaystyle x=-\frac{\sqrt6}{6}$ 또는 $\displaystyle x=\frac{\sqrt6}{6}$인 점을 제외하고는 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이다.그러므로 $\displaystyle \alpha=-\frac{\sqrt6}{3}$일 때, 구간 $\displaystyle [0,\infty)$에서는 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이므로 $\displaystyle g(x)$는 증가한다.또한 $\displaystyle \alpha=\frac{\sqrt6}{3}$일 때, $\displaystyle x=\frac{\sqrt6}{6}$에서만 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$이고 이 점을 제외하고는 구간 $\displaystyle [0,\infty)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이므로 $\displaystyle g(x)$는 구간 $\displaystyle [0,\infty)$에서 증가한다.따라서 $\displaystyle \alpha=\pm\frac{\sqrt6}{3}$일 때 $\displaystyle g(x)$는 실수 전체의 집합에서 증가한다. (아래 그림)

$\displaystyle \alpha<-\frac{\sqrt6}{3}$인 경우 두 근의 합이 음수이므로 두 근은 모두 음이다. 따라서 구간 $\displaystyle [0,\infty)$에서는 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이므로 $\displaystyle g(x)$는 증가한다. (아래 왼쪽 그림)

$\displaystyle \alpha>\frac{\sqrt6}{3}$인 경우는 두 근의 합이 양수이므로 두 근은 모두 양이다. 따라서 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$인 삼차함수 $\displaystyle f(x)$의 개형을 생각하면 $\displaystyle g(x)$는 구간 구간 $\displaystyle [0,\infty)$에서 증가하지 않는 구간이 존재한다. (아래 오른쪽 그림)

따라서 주어진 조건을 모두 만족시키는 실수 $\displaystyle \alpha$의 범위는 $\displaystyle \alpha\le\frac{\sqrt6}{3}$이고, $\displaystyle f(x)=x^3-\frac32\alpha x^2+\frac12x+1$에서 $\displaystyle g(2)=f(2)=10-6\alpha$이므로 $\displaystyle \alpha=\frac{\sqrt6}{3}$일 때 $\displaystyle g(2)$는 $\displaystyle 10-2\sqrt6$으로 최소가 된다.

(i) $\displaystyle \alpha\le\frac{\sqrt6}{3}$이면 모든 $\displaystyle 0$이상의 실수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle f(k)f(k+1)\ge0$이 성립한다. 따라서 이 경우 $\displaystyle g(x)$는 조건 (가)를 만족시킨다.

우선 $\displaystyle f(1)=\frac52-\frac32\alpha=0$일 때, 즉 $\displaystyle \alpha=\frac53$일 때 $\displaystyle f(2)=10-6\alpha=0$이고 $\displaystyle 1<x_2=\frac56+\frac{\sqrt{19}}6<2$이므로 함수 $\displaystyle g(x)$의 개형은 다음과 같고 모든 정수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle g(k)g(k+1)\ge0$이다.

또한 $\displaystyle \frac{\sqrt6}{3}<\alpha<\frac53$인 경우에도 $\displaystyle 0<x_2<\frac56+\frac{\sqrt{19}}6<2$이고 $\displaystyle f(1)=\frac52-\frac32\alpha>0$, $\displaystyle f(2)=10-6\alpha>0$이 되어 그래프의 개형을 생각하면 조건 (가)를 여전히 만족시킨다. (아래 그림)

그렇지만 $\displaystyle \alpha>\frac53$일 때는 $\displaystyle f(1)=\frac52-\frac32\alpha<0$이므로 $\displaystyle k=0$일 때$\displaystyle g(k)g(k+1)=f(0)f(1)=f(1)=\frac52-\frac32\alpha<0$이 되어 주어진 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (아래 그림)

$\displaystyle j=0$일 때: $\displaystyle \frac56\le\alpha\le1$

$\displaystyle j=1$일 때: $\displaystyle \frac{29}{18}\le\alpha\le\frac53$

$\displaystyle j\ge2$일 때: $\displaystyle \alpha\ge\frac{2j^2+2j+\frac56}{2j+1}=j+\frac12+\frac{\frac13}{2j+1}>2>\frac53$이므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

결국 조건 (가), (나)를 모두 만족시키는 실수 $\displaystyle \alpha$의 범위는 다음과 같다.$\displaystyle \frac56\le\alpha\le1$ 또는 $\displaystyle \frac{29}{18}\le\alpha\le\frac53$

그런데 $\displaystyle f^{\prime}(1)=\frac72-3\alpha$이므로 $\displaystyle 21-6g^{\prime}(1)=21-6f^{\prime}(1)=18\alpha$가 취할 수 있는 값의 범위는 다음과 같다.$\displaystyle 15\le21-6g^{\prime}(1)\le18$ 또는 $\displaystyle 29\le21-6g^{\prime}(1)\le30$