자연계열 2번

(2-1) $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+3>0$이므로 $\displaystyle f(x)$는 증가함수이다. $\displaystyle f(\alpha)(=\frac13)<f(0)(=1)<f(\beta)(=\frac43)$이므로 $\displaystyle \alpha<0<\beta$이다.

(2-2) $\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac1{f^{\prime}(f^{-1}(x))}$, $\displaystyle g^{\prime\prime}(x)=\frac{-f^{\prime\prime}(f^{-1}(x))}{f^{\prime}(f^{-1}(x))^3}$이므로$\displaystyle g^{\prime\prime}(\frac13)=\frac{-f^{\prime\prime}(f^{-1}(\frac13))}{f^{\prime}(f^{-1}(\frac13))^3}=\frac{-f^{\prime\prime}(\alpha)}{f^{\prime}(\alpha)^3}=\frac{-6\alpha}{(3\alpha^2+3)^3}>0$이고,$\displaystyle g^{\prime\prime}(\frac43)=\frac{-f^{\prime\prime}(f^{-1}(\frac43))}{f^{\prime}(f^{-1}(\frac43))^3}=\frac{-f^{\prime\prime}(\beta)}{f^{\prime}(\beta)^3}=\frac{-6\beta}{(3\beta^2+3)^3}<0$이다.

(2-3)점 $\displaystyle \mathrm{P}(x,g(x))$와 점 $\displaystyle \mathrm{Q}(x+1,g(x+1))$ 사이의 거리의 제곱을 $\displaystyle F(x)$라 하면 $\displaystyle F(x)=(g(x+1)-g(x))^2+1$이다. $\displaystyle F^{\prime}(x)=2(g(x+1)-g(x))(g^{\prime}(x+1)-g^{\prime}(x))=0$을 만족시키는 $\displaystyle x$를 $\displaystyle x_0$이라 하고 $\displaystyle a=f^{-1}(x_0)$, $\displaystyle b=f^{-1}(x_0+1)$이라 하자. $\displaystyle g(x_0+1)>g(x_0)$이므로$\displaystyle \frac1{f^{\prime}(f^{-1}(x_0+1))}=g^{\prime}(x_0+1)=g^{\prime}(x_0)=\frac1{f^{\prime}(f^{-1}(x_0))}$이다.따라서 $\displaystyle f^{\prime}(b)=f^{\prime}(a)$이고 $\displaystyle b=-a$이다.

또한 $\displaystyle x_0=a^3+3a+1$, $\displaystyle x_0+1=b^3+3b+1=-a^3-3a+1$이므로 $\displaystyle 2x_0+1=2$, 즉 $\displaystyle x_0=\frac12$이다.

$\displaystyle F^{\prime\prime}(x)=2(g^{\prime}(x+1)-g^{\prime}(x))^2+(g(x+1)-g(x))(g^{\prime\prime}(x+1)-g^{\prime\prime}(x))$로부터 $\displaystyle F^{\prime\prime}(\frac12)=2\left(g(\frac32)-g(\frac12)\right)\left(g^{\prime\prime}(\frac32)-g^{\prime\prime}(\frac12)\right)$이다.Correction. $\displaystyle F^{\prime\prime}(x)$를 전개한 식의 두 번째 항에는 계수 $\displaystyle 2$가 빠져 있다. 그러나 원문 표기는 그대로 실었다.또한 $\displaystyle f(a)=\frac12(<1)$이므로 $\displaystyle a<0$, $\displaystyle b(=-a)>0$이다. 따라서$\displaystyle g^{\prime\prime}(\frac12)=\frac{-f^{\prime\prime}(f^{-1}(\frac12))}{f^{\prime}(f^{-1}(\frac12))^3}=\frac{-f^{\prime\prime}(a)}{f^{\prime}(a)^3}=\frac{-6a}{(3a^2+3)^3}>0$,$\displaystyle g^{\prime\prime}(\frac32)=\frac{-f^{\prime\prime}(f^{-1}(\frac12))}{f^{\prime}(f^{-1}(\frac32))^3}=\frac{-f^{\prime\prime}(b)}{f^{\prime}(b)^3}=\frac{-6b}{(3b^2+3)^3}<0$이므로 $\displaystyle F^{\prime\prime}(\frac12)<0$이 되어 $\displaystyle x=\frac12$일 때, 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$와 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 사이의 거리가 최대가 된다.