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자연계열 1번

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서울과학기술대 2016학년도 모의논술 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2016mo/jayeon_1

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문제

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 포물선평면 위의 한 정점 F\displaystyle F와 점 F\displaystyle F를 지나지 않는 한 정직선 l\displaystyle l이 주어질 때, 점 F\displaystyle F와 직선 l\displaystyle l에 이르는 거리가 같은 점들의 집합을 포물선이라고 한다. 이때, 점 F\displaystyle F를 포물선의 초점, 정직선 l\displaystyle l을 포물선의 준선이라고 한다.

(나) 정적분과 넓이닫힌 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속인 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 x\displaystyle x축 및 두 직선 x=a, x=b\displaystyle x=a,\,x=b로 둘러싸인 도형의 넓이를 S\displaystyle S라고 할 때, 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 f(x)≥0\displaystyle f(x)\geq0이면S=∫abf(x) dx\displaystyle S=\int_a^bf(x)\,dx이다.

[1.1] 포물선 y=x2+x+1\displaystyle y=x^2+x+1의 초점과 준선을 구하시오.

[1.2] 포물선 y=x2+x+1\displaystyle y=x^2+x+1과 직선 y=2015\displaystyle y=2015의 교점을 (α,2015),(β,2015)\displaystyle (\alpha,2015),(\beta,2015)라 하자(단, α<β\displaystyle \alpha<\beta). 이때, β−α\displaystyle \beta-\alpha를 구하시오.

[1.3] 포물선 y=x2+x+1\displaystyle y=x^2+x+1과 직선 y=2015\displaystyle y=2015로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오.

해설강의 준비중

서울과학기술대 2016학년도 모의논술 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2016mo/jayeon_1

[1.1] 완전제곱식으로 변형하면 y=(x+12)2+34\displaystyle y=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34이므로 주어진 포물선은 포물선 y=x2\displaystyle y=x^2을 x\displaystyle x축으로 −12\displaystyle -\frac12만큼 y\displaystyle y축으로 34\displaystyle \frac34만큼 평행이동한 포물선이다. 포물선 y=x2\displaystyle y=x^2의 초점이 (0,14)\displaystyle \left(0,\frac14\right)이고, 준선은 y=−14\displaystyle y=-\frac14이므로 주어진 포물선의 초점과 준선은 각기 (−12,1)\displaystyle \left(-\frac12,1\right)과 y=12\displaystyle y=\frac12이다.

[1.2] α,β\displaystyle \alpha,\beta는 방정식 x2+x−2014=0\displaystyle x^2+x-2014=0의 해이므로 α+β=−1, αβ=−2014\displaystyle \alpha+\beta=-1,\,\alpha\beta=-2014를 만족한다. 따라서(β−α)2=α2−2αβ+β2=(α+β)2−4αβ=8057\displaystyle (\beta-\alpha)^2=\alpha^2-2\alpha\beta+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=8057이 된다. 이로부터 β−α=8057\displaystyle \beta-\alpha=\sqrt{8057}이 된다.

[1.3] 교점이 (α,2015),(β,2015)\displaystyle (\alpha,2015),(\beta,2015)이므로 구하는 넓이는∫αβ(2015−(x2+x+1)) dx=2014(β−α)−13(β3−α3)−12(β2−α2)\displaystyle \int_\alpha^\beta(2015-(x^2+x+1))\,dx=2014(\beta-\alpha)-\frac13(\beta^3-\alpha^3)-\frac12(\beta^2-\alpha^2)이 된다. 여기서β3−α3=(β−α)(β2+αβ+α2)=(β−α)((α+β)2−αβ)=8057(1+2014)\displaystyle \beta^3-\alpha^3=(\beta-\alpha)(\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2)=(\beta-\alpha)((\alpha+\beta)^2-\alpha\beta)=\sqrt{8057}(1+2014)이고,β2−α2=(β−α)(β+α)=−8057\displaystyle \beta^2-\alpha^2=(\beta-\alpha)(\beta+\alpha)=-\sqrt{8057}이다. 따라서 구하는 넓이는(2014−20153+12)8057=805780576\displaystyle \left(2014-\frac{2015}3+\frac12\right)\sqrt{8057}=\frac{8057\sqrt{8057}}6이다.

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