자연계열 1번

[1.1] 완전제곱식으로 변형하면 $\displaystyle y=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34$이므로 주어진 포물선은 포물선 $\displaystyle y=x^2$을 $\displaystyle x$축으로 $\displaystyle -\frac12$만큼 $\displaystyle y$축으로 $\displaystyle \frac34$만큼 평행이동한 포물선이다. 포물선 $\displaystyle y=x^2$의 초점이 $\displaystyle \left(0,\frac14\right)$이고, 준선은 $\displaystyle y=-\frac14$이므로 주어진 포물선의 초점과 준선은 각기 $\displaystyle \left(-\frac12,1\right)$과 $\displaystyle y=\frac12$이다.

[1.2] $\displaystyle \alpha,\beta$는 방정식 $\displaystyle x^2+x-2014=0$의 해이므로 $\displaystyle \alpha+\beta=-1,\,\alpha\beta=-2014$를 만족한다. 따라서$\displaystyle (\beta-\alpha)^2=\alpha^2-2\alpha\beta+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=8057$이 된다. 이로부터 $\displaystyle \beta-\alpha=\sqrt{8057}$이 된다.

[1.3] 교점이 $\displaystyle (\alpha,2015),(\beta,2015)$이므로 구하는 넓이는$\displaystyle \int_\alpha^\beta(2015-(x^2+x+1))\,dx=2014(\beta-\alpha)-\frac13(\beta^3-\alpha^3)-\frac12(\beta^2-\alpha^2)$이 된다. 여기서$\displaystyle \beta^3-\alpha^3=(\beta-\alpha)(\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2)=(\beta-\alpha)((\alpha+\beta)^2-\alpha\beta)=\sqrt{8057}(1+2014)$이고,$\displaystyle \beta^2-\alpha^2=(\beta-\alpha)(\beta+\alpha)=-\sqrt{8057}$이다. 따라서 구하는 넓이는$\displaystyle \left(2014-\frac{2015}3+\frac12\right)\sqrt{8057}=\frac{8057\sqrt{8057}}6$이다.