자연계열 2번

[2.1] 삼각형 $\displaystyle ABC$는 직각삼각형이므로$\displaystyle AC=AB\cos\theta=2\cos\theta$이다. 호 $\displaystyle CB$의 중심각은 $\displaystyle 2\theta$이므로$\displaystyle \text{호 }BC=2\theta$이다.

[2.2] 시간$\displaystyle =\frac{\text{거리}}{\text{속력}}$이므로 $\displaystyle A$에서 $\displaystyle C$까지 배를 타고 가는 데 걸리는 시간은 $\displaystyle \frac{2\cos\theta}{v_1}$이고, $\displaystyle C$에서 $\displaystyle B$까지 뛰어서 가는 데 걸리는 시간은 $\displaystyle \frac{2\theta}{v_2}$이다. 따라서 $\displaystyle A$에서 $\displaystyle B$까지 가는 데 걸리는 시간은$\displaystyle f(\theta)=\frac{2\cos\theta}{v_1}+\frac{2\theta}{v_2}$이다.

[2.3] $\displaystyle f(\theta)$를 미분하면$\displaystyle f^{\prime}(\theta)=-\frac{2\sin\theta}{v_1}+\frac2{v_2}$이다. $\displaystyle \theta=\frac\pi6$일 때 $\displaystyle f(\theta)$가 극값을 가지려면$\displaystyle f^{\prime}\left(\frac\pi6\right)=-\frac1{v_1}+\frac2{v_2}=0$이어야 하므로 $\displaystyle v_2=2v_1$이다. 이때$\displaystyle f^{\prime\prime}\left(\frac\pi6\right)=\left.-\frac{2\sin\theta}{v_1}\right|_{\theta=\pi/6}=-\frac1{v_1}<0$Comment. 이계도함수를 구하는 과정과 그 값을 대입한 계산이 잘못되었다.$\displaystyle f^{\prime}(\theta)=-\frac{2\sin\theta}{v_1}+\frac2{v_2}$이므로 올바른 이계도함수와 그 값은 다음과 같다.$\displaystyle f^{\prime\prime}(\theta)=-\frac{2\cos\theta}{v_1},\qquad f^{\prime\prime}\left(\frac\pi6\right)=-\frac{\sqrt3}{v_1}<0$극댓값이라는 판정과 $\displaystyle v_2=10$이라는 결론은 그대로 성립한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이므로 $\displaystyle f\left(\frac\pi6\right)$는 최댓값이다. 그리고 $\displaystyle v_1=5$일 때 $\displaystyle v_2=10$이다.