자연계열 3번

[3.1] 평면 $\displaystyle T$의 방정식을 $\displaystyle x+y+z=d$라고 하면 점과 평면 사이의 거리공식에 의하여 $\displaystyle \frac{|d|}{\sqrt3}=3$이므로 $\displaystyle d=\pm3\sqrt3$이 된다. 따라서 $\displaystyle x+y+z=\pm3\sqrt3$이다.

[3.2] 구와 평면이 만나서 생기는 원의 반지름을 $\displaystyle r$이라 하면 $\displaystyle 3^2+r^2=4^2$를 만족해야 하므로 $\displaystyle r=\sqrt7$이다. 따라서 구하는 원의 넓이는 $\displaystyle 7\pi$가 된다.

[3.3] 구하는 평면은 평면 $\displaystyle T$에 수직하고 원점을 지난다. 따라서 $\displaystyle d=0$이다. 또한 구하는 평면의 법선벡터 $\displaystyle (a,b,c)$는 $\displaystyle (1,1,1)$에 수직하므로 $\displaystyle a+b+c=0$을 만족한다. 이제$\displaystyle |a|+|b|+|c|+|d|=|a|+|b|+|-a-b|=|a|+|b|+|a+b|$를 최소로 하기 위해서는 $\displaystyle (a,b,c)\neq(0,0,0)$이므로,$\displaystyle (a,b,c)=(\pm1,\mp1,0),\,(a,b,c)=(0,\pm1,\mp1),\,(a,b,c)=(\pm1,0,\mp1)$이 되어야 한다. 따라서 구하는 평면의 방정식은 $\displaystyle x=y,\,y=z,\,x=z$이다.