서울과학기술대 2016학년도 모의논술 자연계열 4번 해설

[문제 4] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 함수의 극한값에 관한 성질 $\displaystyle \alpha,\beta$ 가 상수이고 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\alpha$ , $\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)=\beta$ 일 때, 다음이 성립한다.(1) $\displaystyle \lim_{x\to a}kf(x)=k\alpha$ (단, $\displaystyle k$ 는 상수)(2) $\displaystyle \lim_{x\to a}[f(x)+g(x)]=\alpha+\beta$ (3) $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)g(x)=\alpha\beta$ 위의 성질은 $\displaystyle x\to\infty$ , $\displaystyle x\to-\infty$ 일 때도 성립한다.

(나) 지수함수의 극한 $\displaystyle a>1$ 일 때 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}a^x=\infty$ 이고, $\displaystyle 0<a<1$ 일 때 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}a^x=0$ 이다.

(다) 연속성의 조건함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 연속일 필요충분조건은 다음과 같다.(1) $\displaystyle f$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 정의되어 있다.(2) $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)$ 가 존재한다.(3) $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

[4.1] $\displaystyle r\neq1$ 이고 $\displaystyle n$ 은 자연수일 때 $\displaystyle 1+r+r^2+\cdots+r^n=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$ 임을 보이시오.

[4.2] 실수에서 정의된 함수 $\displaystyle f$ 가 $\displaystyle x=0$ 에서 연속이고 $\displaystyle 0<a<1$ 일 때 극한 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}\left(\frac12\right)^tf(a^{t+1}x)$ 을 구하시오.

[4.3] 실수에서 정의된 함수 $\displaystyle f$ 가 $\displaystyle x=0$ 에서 연속이며 $\displaystyle 0<a<1$ 인 $\displaystyle a$ 와 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 다음 관계식을 만족한다. $\displaystyle 2f(x)-f(ax)=x^2+x+1$ 이때 $\displaystyle f(x)$ 를 구하시오. [힌트. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac12\right)^nf(a^{n+1}x)=\lim_{t\to\infty}\left(\frac12\right)^tf(a^{t+1}x)$ ]

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[4.1] $\displaystyle S=1+r+r^2+\cdots+r^n$ 이라 하고 양변에 $\displaystyle r$ 을 곱하면 $\displaystyle rS=r+r^2+r^3+\cdots+r^{n+1}$ 이다. 위의 두 식을 빼면 $\displaystyle (1-r)S=1-r^{n+1}$ 이다. 그런데 $\displaystyle r\neq1$ 이므로 $\displaystyle S=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$ 이다.

[4.2] $\displaystyle 0<a<1$ 이므로 제시문 (가)와 (나)에 의하여 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}(a^{t+1}x)=x\lim_{t\to\infty}a^{t+1}=0$ 이다. 그런데 함수 $\displaystyle f$ 가 $\displaystyle x=0$ 에서 연속이므로 제시문 (다)에 의하여 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}f(a^{t+1}x)=f\left(\lim_{t\to\infty}a^{t+1}x\right)=f(0)$ 이다. 또 제시문 (나)에 의하여 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}\left(\frac12\right)^t=0$ 이다. 따라서 제시문 (가)에 의하여 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}\left(\frac12\right)^tf(a^{t+1}x)=\lim_{t\to\infty}\left(\frac12\right)^t\cdot\lim_{t\to\infty}f(a^{t+1}x)=0$ 이다.

[4.3] $\displaystyle i=0,1,\ldots,n$ 에 대하여 $\displaystyle a^ix$ 를 주어진 식에 대입하면 $\displaystyle \begin{gathered}2f(x)-f(ax)=x^2+x+1\\2f(ax)-f(a^2x)=a^2x^2+ax+1\\2f(a^2x)-f(a^3x)=a^4x^2+a^2x+1\\\cdots\\2f(a^nx)-f(a^{n+1}x)=a^{2n}x^2+a^nx+1\end{gathered}$ 이다. 두 번째 식의 양변에 $\displaystyle \frac12$ , 세 번째 식의 양변에 $\displaystyle \left(\frac12\right)^2$ , 마지막 식의 양변에 $\displaystyle \left(\frac12\right)^n$ 을 곱하면 $\displaystyle \begin{gathered}2f(x)-f(ax)=x^2+x+1\\f(ax)-\frac12f(a^2x)=\frac{a^2}2x^2+\frac a2x+\frac12\\\frac12f(a^2x)-\left(\frac12\right)^2f(a^3x)=\left(\frac{a^2}2\right)^2x^2+\left(\frac a2\right)^2x+\left(\frac12\right)^2\\\cdots\\\left(\frac12\right)^{n-1}f(a^nx)-\left(\frac12\right)^nf(a^{n+1}x)=\left(\frac{a^2}2\right)^nx^2+\left(\frac a2\right)^nx+\left(\frac12\right)^n\end{gathered}$ 이다. 이 식을 모두 더하면 $\displaystyle \begin{aligned}2f(x)-\left(\frac12\right)^nf(a^{n+1}x)&=\left[1+\frac{a^2}2+\left(\frac{a^2}2\right)^2+\cdots+\left(\frac{a^2}2\right)^n\right]x^2\\&\quad+\left[1+\frac a2+\left(\frac a2\right)^2+\cdots+\left(\frac a2\right)^n\right]x+\left[1+\frac12+\left(\frac12\right)^2+\cdots+\left(\frac12\right)^n\right]\\&=\frac{1-(a^2/2)^{n+1}}{1-a^2/2}x^2+\frac{1-(a/2)^{n+1}}{1-a/2}x+\frac{1-(1/2)^{n+1}}{1-1/2}\end{aligned}$ 이다. 이제 $\displaystyle n\to\infty$ 이면 [4.2]에 의하여 $\displaystyle f(x)=\frac1{2-a^2}x^2+\frac1{2-a}x+1$ 이다.

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자연계열 4번

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