자연계열 4번

[4.1] $\displaystyle S=1+r+r^2+\cdots+r^n$이라 하고 양변에 $\displaystyle r$을 곱하면$\displaystyle rS=r+r^2+r^3+\cdots+r^{n+1}$이다. 위의 두 식을 빼면$\displaystyle (1-r)S=1-r^{n+1}$이다. 그런데 $\displaystyle r\neq1$이므로$\displaystyle S=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$이다.

[4.2] $\displaystyle 0<a<1$이므로 제시문 (가)와 (나)에 의하여$\displaystyle \lim_{t\to\infty}(a^{t+1}x)=x\lim_{t\to\infty}a^{t+1}=0$이다. 그런데 함수 $\displaystyle f$가 $\displaystyle x=0$에서 연속이므로 제시문 (다)에 의하여$\displaystyle \lim_{t\to\infty}f(a^{t+1}x)=f\left(\lim_{t\to\infty}a^{t+1}x\right)=f(0)$이다. 또 제시문 (나)에 의하여$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\left(\frac12\right)^t=0$이다. 따라서 제시문 (가)에 의하여$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\left(\frac12\right)^tf(a^{t+1}x)=\lim_{t\to\infty}\left(\frac12\right)^t\cdot\lim_{t\to\infty}f(a^{t+1}x)=0$이다.

[4.3] $\displaystyle i=0,1,\ldots,n$에 대하여 $\displaystyle a^ix$를 주어진 식에 대입하면$\displaystyle \begin{gathered}2f(x)-f(ax)=x^2+x+1\\2f(ax)-f(a^2x)=a^2x^2+ax+1\\2f(a^2x)-f(a^3x)=a^4x^2+a^2x+1\\\cdots\\2f(a^nx)-f(a^{n+1}x)=a^{2n}x^2+a^nx+1\end{gathered}$이다. 두 번째 식의 양변에 $\displaystyle \frac12$, 세 번째 식의 양변에 $\displaystyle \left(\frac12\right)^2$, 마지막 식의 양변에 $\displaystyle \left(\frac12\right)^n$을 곱하면$\displaystyle \begin{gathered}2f(x)-f(ax)=x^2+x+1\\f(ax)-\frac12f(a^2x)=\frac{a^2}2x^2+\frac a2x+\frac12\\\frac12f(a^2x)-\left(\frac12\right)^2f(a^3x)=\left(\frac{a^2}2\right)^2x^2+\left(\frac a2\right)^2x+\left(\frac12\right)^2\\\cdots\\\left(\frac12\right)^{n-1}f(a^nx)-\left(\frac12\right)^nf(a^{n+1}x)=\left(\frac{a^2}2\right)^nx^2+\left(\frac a2\right)^nx+\left(\frac12\right)^n\end{gathered}$이다. 이 식을 모두 더하면$\displaystyle \begin{aligned}2f(x)-\left(\frac12\right)^nf(a^{n+1}x)&=\left[1+\frac{a^2}2+\left(\frac{a^2}2\right)^2+\cdots+\left(\frac{a^2}2\right)^n\right]x^2\\&\quad+\left[1+\frac a2+\left(\frac a2\right)^2+\cdots+\left(\frac a2\right)^n\right]x+\left[1+\frac12+\left(\frac12\right)^2+\cdots+\left(\frac12\right)^n\right]\\&=\frac{1-(a^2/2)^{n+1}}{1-a^2/2}x^2+\frac{1-(a/2)^{n+1}}{1-a/2}x+\frac{1-(1/2)^{n+1}}{1-1/2}\end{aligned}$이다. 이제 $\displaystyle n\to\infty$이면 [4.2]에 의하여$\displaystyle f(x)=\frac1{2-a^2}x^2+\frac1{2-a}x+1$이다.