자연계열 1-1번

[1.1] 등비급수의 합 공식으로부터 $\displaystyle \frac{1-r^n}{1-r}=1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}$이다. 이를 이용하기 위해$\displaystyle \lim_{r\to1}\frac{(1-r^{1011})(1-r^{1012})(1-r^{1013})\cdots(1-r^{2020})}{(1-r)(1-r^2)(1-r^3)\cdots(1-r^{1010})}$에서 분모와 분자를 $\displaystyle (1-r)^{1010}$으로 나눈 후 극한값을 계산하면$\displaystyle \begin{aligned}&\lim_{r\to1}\frac{(1-r^{1011})(1-r^{1012})(1-r^{1013})\cdots(1-r^{2020})}{(1-r)(1-r^2)(1-r^3)\cdots(1-r^{1010})}\\&=\lim_{r\to1}\frac{(1+r+\cdots+r^{1010})(1+r+\cdots+r^{1011})\cdots(1+r+\cdots+r^{2019})}{1(1+r)(1+r+r^2)\cdots(1+r+\cdots+r^{1009})}\\&=\frac{1011\times1012\times\cdots\times2020}{1\times2\times\cdots\times1010}={}_{2020}\mathrm C_{1010}\end{aligned}$이다. 따라서 $\displaystyle a=2020,b=1010$이 된다.