자연계열 2번

[2.1]

점 D로부터 점 E까지 이동한 거리를 $\displaystyle t$라 하고 점 B로부터 점 H까지의 거리를 $\displaystyle h$라 하자.정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 $\displaystyle 4$이므로, 점 E와 점 C 사이의 거리 $\displaystyle \overline{\mathrm{EC}}=4-t$, 점 C와 점 H 사이의 거리 $\displaystyle \overline{\mathrm{CH}}=4-h$이다.삼각형 $\displaystyle \triangle\mathrm{CEH}$는 직각삼각형이므로 피타고라스의 정리에 의해,$\displaystyle \begin{aligned}h^2&=(4-t)^2+(4-h)^2\\\Rightarrow\quad h^2&=(4-t)^2+16-8h+h^2\\\Rightarrow\quad8h&=(4-t)^2+16\\\Rightarrow\quad h&=\frac{t^2-8t+32}8\quad\text{or}\quad\frac{t^2}8-t+4\end{aligned}$이므로 H의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle \frac{t^2}8-t+4$이다.

[2.2] 삼각형의 닮음비는 닮은 삼각형의 대응하는 변의 길이의 비와 같다.따라서, 세 삼각형 $\displaystyle \triangle\mathrm{CEH}$와 $\displaystyle \triangle\mathrm{DKE}$, 그리고 $\displaystyle \triangle\mathrm{FKG}$의 닮음비는 세 변의 길이 $\displaystyle \overline{\mathrm{CH}},\overline{\mathrm{DE}},\overline{\mathrm{FG}}$의 비와 같다.$\displaystyle \overline{\mathrm{DE}}=t$로 놓으면, [2.1]에서 구한 $\displaystyle h$를 이용하여$\displaystyle \overline{\mathrm{CH}}=4-h=4-\frac{t^2-8t+32}8=-\frac{t^2-8t}8\quad\text{or}\quad t-\frac{t^2}8\quad\text{or}\quad\frac{8t-t^2}8$이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{FG}}$를 구하기 위해서는 사각형 $\displaystyle \square\mathrm{ABHG}$와 사각형 $\displaystyle \square\mathrm{FEHG}$는 합동이고 대각선 $\displaystyle \overline{\mathrm{EG}}=\overline{\mathrm{BG}}$임을 이용한다.$\displaystyle \begin{aligned}b^2=\overline{\mathrm{FG}}^{\,2}&=\overline{\mathrm{AG}}^{\,2}\\&=\overline{\mathrm{BG}}^{\,2}-\overline{\mathrm{AB}}^{\,2}\\&=\overline{\mathrm{EG}}^{\,2}-4^2\\&=\overline{\mathrm{ED}}^{\,2}+\overline{\mathrm{DG}}^{\,2}-4^2\\&=t^2+(4-b)^2-4^2\end{aligned}$$\displaystyle \begin{aligned}b^2&=t^2+16-8b+b^2-16\\\Rightarrow\quad8b&=t^2\\\Rightarrow\quad b&=\frac{t^2}8\end{aligned}$따라서 세 삼각형 $\displaystyle \triangle\mathrm{CEH}$와 $\displaystyle \triangle\mathrm{DKE}$, 그리고 $\displaystyle \triangle\mathrm{FKG}$의 닮음비 $\displaystyle =\overline{\mathrm{CH}}:\overline{\mathrm{DE}}:\overline{\mathrm{FG}}=\frac{8t-t^2}8:t:\frac{t^2}8$이므로 $\displaystyle a=\frac{8t-t^2}8$, $\displaystyle b=\frac{t^2}8$이다.

[2.3] 삼각형 $\displaystyle \triangle\mathrm{CEH}$의 넓이 $\displaystyle f(t)$는$\displaystyle f(t)=\frac12\frac{t(8-t)}8\cdot(4-t)=\frac1{16}t(8-t)(4-t)=\frac1{16}(t^3-12t^2+32t)$로 나타낼 수 있다. $\displaystyle 3$차 함수의 최댓값을 구하기 위해 미분을 이용한다.$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(t)=\frac1{16}(3t^2-24t+32)\quad\Rightarrow\quad t&=\frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2-3\cdot32}}3\\&=\frac43(3\pm\sqrt3)\end{aligned}$$\displaystyle 0\leq t\leq4$이고, $\displaystyle t=\frac43(3-\sqrt3)$에서 극댓값을 가지므로, $\displaystyle t=\frac43(3-\sqrt3)$에서 $\displaystyle f(t)$는 최대가 된다. 따라서 점 E의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac43(3-\sqrt3)$이다.