자연계열 1-2번

[1.2] $\displaystyle f(x)=x\ln x$라고 하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\ln x+1$이므로, $\displaystyle y=f(x)$의 증감표는 다음과 같다.

이로부터 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle \frac1e$에서 최소가 됨을 알 수 있고, 따라서 $\displaystyle a=\frac1e$이다. 부분적분을 이용하면, $\displaystyle t>a$이므로$\displaystyle \int_{1/e}^tx\ln x\,dx=\Biggl[\frac12x^2\ln x\Biggr]_{x=1/e}^{x=t}-\int_{1/e}^t\frac12x\,dx=\frac{t^2}2\ln t-\frac{t^2}4+\frac3{4e^2}$을 얻는다. 가정으로부터 $\displaystyle t>a$이고$\displaystyle \int_{1/e}^tx\ln x\,dx=\frac3{4e^2}$이므로$\displaystyle \int_{1/e}^tx\ln x\,dx-\frac3{4e^2}=\frac{t^2}2\ln t-\frac{t^2}4=0$을 얻는다. 그러므로$\displaystyle \ln t=\frac12$이고, 이로부터 $\displaystyle t=\sqrt e$이다.