자연계열 1-3번

[1.3] 직선 $\displaystyle y=(\tan\theta)x$가 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 $\displaystyle \theta$이다. 직선$\displaystyle y=\frac{1+\tan\frac\theta2}{1-\tan\frac\theta2}(x-\sec\theta)=\tan\left(\frac\theta2+\frac\pi4\right)(x-\sec\theta)$의 기울기가 $\displaystyle \tan\left(\frac\theta2+\frac\pi4\right)$이므로 이 직선이 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 $\displaystyle \frac\theta2+\frac\pi4$이다.여기서 $\displaystyle \theta<\frac\theta2+\frac\pi4$이므로 두 직선의 교점 P는 제$\displaystyle 1$사분면에 있고, 삼각형 OPQ에서 $\displaystyle \angle\mathrm{PQO}$의 외각의 크기는 $\displaystyle \frac\theta2+\frac\pi4$이다.

$\displaystyle \angle\mathrm{OPQ}=\alpha$로 놓으면 $\displaystyle \theta+\alpha=\frac\pi4+\frac\theta2$이므로 $\displaystyle \alpha=\frac\pi4-\frac\theta2$이고 $\displaystyle 0<\alpha\leq\frac\pi6$이다. 사인법칙에 의하여 외접원의 지름 $\displaystyle 2R$은$\displaystyle 2R=\frac{\sec\left(\frac\pi2-2\alpha\right)}{\sin\alpha}=\frac1{\cos\left(\frac\pi2-2\alpha\right)\sin\alpha}=\frac1{\sin(2\alpha)\sin\alpha}$이다. 그런데

$\displaystyle \sin(2\alpha)=\sin(\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$이므로$\displaystyle 2R=\frac1{2\sin^2\alpha\cos\alpha}=\frac1{2(\cos\alpha-\cos^3\alpha)}$이다. 여기서 $\displaystyle \cos\alpha=t$로 치환하면 지름은$\displaystyle 2R=\frac1{2(t-t^3)},\quad\frac{\sqrt3}2\leq t<1$이므로 $\displaystyle f(t)=t-t^3$이 최대일 때, 외접원의 지름은 최소가 된다. $\displaystyle f^{\prime}(t)=1-3t^2=0$에서 $\displaystyle t=\pm\frac1{\sqrt3}$이므로 $\displaystyle \frac{\sqrt3}2\leq t<1$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(t)<0$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{\sqrt3}2\leq t<1$에서 $\displaystyle f(t)$는 감소함수이고, 구하는 최솟값은$\displaystyle 2R=\frac1{2\left(\frac{\sqrt3}2-\frac{3\sqrt3}8\right)}=\frac{4\sqrt3}3$이다.