자연계열 3번

[3.1] $\displaystyle 4^2=2^4=16$이므로 $\displaystyle x=4$이다.

[3.2] 제시문 (가)를 이용하면 $\displaystyle x^2=2^x\Leftrightarrow\ln x^2=\ln2^x$이고 $\displaystyle 2\ln x=x\ln2$를 만족한다. 이때 $\displaystyle f(x)=2\ln x-x\ln2$, $\displaystyle x\geq3$라고 하면,$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac2x-\ln2<0$이므로 $\displaystyle f(x)$는 감소함수이다.

그런데 $\displaystyle f(4)=0$이므로 $\displaystyle f(x)=2\ln x-x\ln2=0$의 해는 $\displaystyle x=4$ 하나뿐이다. 즉, $\displaystyle x^2=2^x$의 해는 $\displaystyle x=4$ 하나뿐이다.

[3.3] 분자는 $\displaystyle 2s$차이고 분모는 $\displaystyle r+1$차이므로 $\displaystyle 2s=r+1$일 때 $\displaystyle 0$이 아닌 극한값이 존재한다. 이때

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\{n(n+1)\}^s}{n^{r+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\{n(n+1)\}^s}{n^{2s}}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}n\right)^s=1$이다.

[3.4] 주어진 관계식의 우변은 $\displaystyle \left(\frac{n(n+1)}2\right)^s$이다. 양변을 모두 $\displaystyle n^{r+1}$로 나누면$\displaystyle \frac1n\left\{\left(\frac1n\right)^r+\left(\frac2n\right)^r+\cdots+\left(\frac nn\right)^r\right\}=\frac1{2^s}\frac{\{n(n+1)\}^s}{n^{r+1}}$이고,

제시문 (나)에 의하여$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left(\frac kn\right)^r\frac1n=\frac1{2^s}\lim_{n\to\infty}\frac{\{n(n+1)\}^s}{n^{r+1}}$이다. 정적분과 급수 사이의 관계와 문항 [3.3]의 결과를 이용하면$\displaystyle \int_0^1x^r\,dx=\frac1{2^s}$이므로

$\displaystyle \frac1{r+1}=\frac1{2^s}$이고$\displaystyle (r+1)^2=2^{2s}=2^{r+1}$이다. 문항 [3.2]에 의하여 $\displaystyle r\geq2$일 때 이 방정식의 해는 $\displaystyle r=3$ 하나뿐이다.