자연계열 2번

서울과학기술대 2021학년도 수시 2차 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2021su_2/jayeon_2

[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) [그림 1]과 같이 $\displaystyle 0<b<4$ 일 때, 직선 $\displaystyle y=b$ 와 곡선 $\displaystyle y=-x^2+4x$ 가 만나는 두 교점을 각각 P와 Q라 하자. (단, 점 Q의 $\displaystyle x$ 좌표는 점 P의 $\displaystyle x$ 좌표보다 크다.)

(나) [그림 2]와 같이 $\displaystyle x=3$ 일 때, 곡선 $\displaystyle y=-x^2+4x$ 위의 점을 T라 하자.

(다) [그림 1]과 [그림 2]에서 점 O는 원점이다.

그림 1: 포물선 위의 두 점 P, Q와 삼각형 OPQ. 그림 2: 포물선 위의 점 T와 직선 OT

[2.1] [그림 1]에서 삼각형 OPQ의 넓이가 최대가 되는 점 Q의 $\displaystyle x$ 좌표가 $\displaystyle u+v\sqrt w$ 일 때, $\displaystyle uvw$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle u$ 와 $\displaystyle v$ 는 유리수이고, $\displaystyle w$ 는 소수인 자연수이다.)

[2.2] [그림 2]에서 곡선 $\displaystyle y=-x^2+4x$ 와 직선 OT로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

[2.3] [그림 2]에서 $\displaystyle 0<x<3$ 일 때, 곡선 $\displaystyle y=-x^2+4x$ 위의 점 S와 직선 OT 사이의 거리의 최댓값을 구하시오.

해설강의 준비중

서울과학기술대 2021학년도 수시 2차 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2021su_2/jayeon_2

+5점 · 점 P와 Q의

\displaystyle x

좌표를 각각

\displaystyle 2-\alpha

와

\displaystyle 2+\alpha

라 하고 삼각형 OPQ의 넓이를

\displaystyle A(\alpha)

라고 하면, 선분 PQ의 길이는

\displaystyle 2+\alpha-(2-\alpha)=2\alpha

높이는

\displaystyle b=-(2-\alpha)^2+4(2-\alpha)=-\alpha^2+4

\displaystyle A(\alpha)=\frac12\times2\alpha\times b=\alpha b=\alpha(-\alpha^2+4)=-\alpha^3+4\alpha

[2.1] 점 P와 Q의 $\displaystyle x$ 좌표를 각각 $\displaystyle 2-\alpha$ 와 $\displaystyle 2+\alpha$ 라 하고 삼각형 OPQ의 넓이를 $\displaystyle A(\alpha)$ 라고 하면, 선분 PQ의 길이는 $\displaystyle 2+\alpha-(2-\alpha)=2\alpha$ 이고 높이는 $\displaystyle b=-(2-\alpha)^2+4(2-\alpha)=-\alpha^2+4$ 이므로 $\displaystyle A(\alpha)=\frac12\times2\alpha\times b=\alpha b=\alpha(-\alpha^2+4)=-\alpha^3+4\alpha$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle \begin{array}{c|ccccc}\alpha&0&\cdots&\frac{2\sqrt3}3&\cdots&2\\A^{\prime}(\alpha)&&+&0&-&\\A(\alpha)&&\text{증가}&&\text{감소}&\end{array}

$\displaystyle 0<\alpha<2$ 일 때 $\displaystyle A^{\prime}(\alpha)=-3\alpha^2+4=0$ 에서 $\displaystyle \alpha=\frac{2\sqrt3}3$ 이다. $\displaystyle 0<\alpha<2$ 에서 $\displaystyle A(\alpha)$ 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle \alpha$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdots$	$\displaystyle \frac{2\sqrt3}3$	$\displaystyle \cdots$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle A^{\prime}(\alpha)$		$\displaystyle +$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -$
$\displaystyle A(\alpha)$		증가		감소

따라서 $\displaystyle \alpha=\frac{2\sqrt3}3$ 일 때 $\displaystyle A(\alpha)$ 가 최대가 되고, 이때 점 Q의 $\displaystyle x$ 좌표는 $\displaystyle 2+\alpha=2+\frac{2\sqrt3}3$ 이다. 따라서 $\displaystyle uvw=2\times\frac23\times3=4$ 이다.

+10점

[2.2] 점 T의 좌표는 $\displaystyle (3,3)$ 이고 직선 OT의 방정식은 $\displaystyle y=x$ 이므로 넓이 $\displaystyle S$ 는 다음과 같다. $\displaystyle S=\int_0^3(-x^2+4x-x)\,dx=\Biggl[-\frac13x^3+\frac32x^2\Biggr]_0^3=\frac92$

+6점

[2.3] 점 S에서 접선의 기울기가 $\displaystyle 1$ 일 때 선분 SH의 길이가 최대이다. $\displaystyle y^{\prime}=-2x+4=1$ 로부터 $\displaystyle x=\frac32$ 일 때 접선의 기울기가 $\displaystyle 1$ 이고, 점 S의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac32,\frac{15}4\right)$ 이다.

+7점

따라서 이때 선분 SH의 길이는 다음과 같다. $\displaystyle \overline{\mathrm{SH}}=\frac{\frac{15}4-\frac32}{\sqrt2}=\frac{9\sqrt2}8$

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