자연계열 2번

[2.1] 점 P와 Q의 $\displaystyle x$좌표를 각각 $\displaystyle 2-\alpha$와 $\displaystyle 2+\alpha$라 하고 삼각형 OPQ의 넓이를 $\displaystyle A(\alpha)$라고 하면, 선분 PQ의 길이는 $\displaystyle 2+\alpha-(2-\alpha)=2\alpha$이고 높이는 $\displaystyle b=-(2-\alpha)^2+4(2-\alpha)=-\alpha^2+4$이므로$\displaystyle A(\alpha)=\frac12\times2\alpha\times b=\alpha b=\alpha(-\alpha^2+4)=-\alpha^3+4\alpha$이다. $\displaystyle 0<\alpha<2$일 때 $\displaystyle A^{\prime}(\alpha)=-3\alpha^2+4=0$에서 $\displaystyle \alpha=\frac{2\sqrt3}3$이다. $\displaystyle 0<\alpha<2$에서 $\displaystyle A(\alpha)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 $\displaystyle \alpha=\frac{2\sqrt3}3$일 때 $\displaystyle A(\alpha)$가 최대가 되고, 이때 점 Q의 $\displaystyle x$좌표는$\displaystyle 2+\alpha=2+\frac{2\sqrt3}3$이다. 따라서 $\displaystyle uvw=2\times\frac23\times3=4$이다.

[2.2] 점 T의 좌표는 $\displaystyle (3,3)$이고 직선 OT의 방정식은 $\displaystyle y=x$이므로 넓이 $\displaystyle S$는 다음과 같다.$\displaystyle S=\int_0^3(-x^2+4x-x)\,dx=\Biggl[-\frac13x^3+\frac32x^2\Biggr]_0^3=\frac92$

[2.3] 점 S에서 접선의 기울기가 $\displaystyle 1$일 때 선분 SH의 길이가 최대이다. $\displaystyle y^{\prime}=-2x+4=1$로부터 $\displaystyle x=\frac32$일 때 접선의 기울기가 $\displaystyle 1$이고, 점 S의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac32,\frac{15}4\right)$이다. 따라서 이때 선분 SH의 길이는 다음과 같다.$\displaystyle \overline{\mathrm{SH}}=\frac{\frac{15}4-\frac32}{\sqrt2}=\frac{9\sqrt2}8$