자연계열 3번

[3.1] $\displaystyle x=1$을 대입하면$\displaystyle f(1)=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin k+1}{1+\cos\frac\pi2+1}=\frac{\sin k+1}2$이다.

[3.2] 분모와 분자를 $\displaystyle x^n$으로 나누면$\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{x\sin kx+\frac1{x^{n-1}}}{1+\frac1{x^{n-1}}\cos\frac{\pi x}2+\frac1{x^n}}$이다. $\displaystyle x>1$이므로 제시문 (나)에 의하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{x^{n-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac1{x^n}=0$이고, 제시문 (가)에 의하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{x^{n-1}}\cos\frac{\pi x}2=0$이므로 $\displaystyle f(x)=x\sin kx$이다.

[3.3] $\displaystyle 1<x\leq2$에서는 연속이므로 $\displaystyle x=1$에서 연속이 되도록 $\displaystyle k$값을 구하면 된다. $\displaystyle x=1$에서 연속이려면 $\displaystyle \lim_{x\to1+}f(x)=f(1)$이어야 하므로$\displaystyle \lim_{x\to1+}x\sin kx=\sin k=\frac{\sin k+1}2$이다. 따라서 $\displaystyle \sin k=1$이고 $\displaystyle k=\frac\pi2$이다.

[3.4] $\displaystyle f(x)=x\sin\frac{\pi x}2$이므로 구하는 넓이는$\displaystyle S=\int_1^2x\sin\frac{\pi x}2\,dx$이다. 부분적분하면$\displaystyle \begin{aligned}S&=\Biggl[x\cdot\left(-\frac2\pi\cos\frac{\pi x}2\right)\Biggr]_1^2-\int_1^2\left(-\frac2\pi\cos\frac{\pi x}2\right)\,dx\\&=\Biggl[-\frac2\pi x\cos\frac{\pi x}2+\left(\frac2\pi\right)^2\sin\frac{\pi x}2\Biggr]_1^2=\frac4\pi-\frac4{\pi^2}\end{aligned}$이다.