자연계열 1-3번

[1.3] 첫 번째 입체도형의 부피 $\displaystyle V_1$을 구하기 위하여, 밑면으로부터 높이가 $\displaystyle x$일 때 단면의 넓이를 $\displaystyle S_1(x)$라 하면, $\displaystyle S_1(x)=\pi(a^2-x)$이므로,$\displaystyle V_1=\int_0^{a^2}\pi(a^2-x)\,dx=\frac12\pi a^4$이다. 또 두 번째 입체도형의 부피 $\displaystyle V_2$를 구하기 위하여, 밑면으로부터 높이가 $\displaystyle x$일 때 단면의 넓이를 $\displaystyle S_2(x)$라 하면, $\displaystyle S_2(x)=\pi(a-x)^4$이므로 $\displaystyle V_2=\int_0^a\pi(a-x)^4\,dx$이다. $\displaystyle t=a-x$로 놓으면 $\displaystyle \frac{dt}{dx}=-1$이므로,$\displaystyle V_2=\int_a^0\pi t^4(-dt)=\int_0^a\pi t^4\,dt=\frac15\pi a^5$이다. $\displaystyle V_1=V_2$를 만족하는 양의 실수인 $\displaystyle a$는 $\displaystyle \frac52$이다.