자연계열 3번

[3.1] $\displaystyle x^2>0$이므로 $\displaystyle \cos x=0$이 되는 $\displaystyle x$를 찾으면 된다. 따라서 $\displaystyle x_n=\frac{(2n-1)\pi}2$이다.

[3.2] $\displaystyle f(x)$를 미분하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=-\frac{\sin x}{x^2}-\frac{2\cos x}{x^3}$이므로$\displaystyle f^{\prime}(x_n)=\frac{-\sin x_n}{x_n^2}-\frac{2\cos x_n}{x_n^3}=-\frac{\sin x_n}{x_n^2}=-\left(\frac2{(2n-1)\pi}\right)^2\sin\frac{(2n-1)\pi}2$이고, 사인값을 계산하면$\displaystyle f^{\prime}(x_n)=\begin{cases}-\left(\frac2{(2n-1)\pi}\right)^2,&n=1,3,5,\cdots\\\left(\frac2{(2n-1)\pi}\right)^2,&n=2,4,6,\cdots\end{cases}$이다. 따라서 $\displaystyle n=1,3,5,\cdots$일 때 점 $\displaystyle \mathrm{P}_n$에서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 접선의 방정식은$\displaystyle y=-\left(\frac2{(2n-1)\pi}\right)^2\left(x-\frac{(2n-1)\pi}2\right)$이고, 이 직선의 $\displaystyle y$절편은 $\displaystyle y_n=\frac2{(2n-1)\pi}$이다. 또 $\displaystyle n=2,4,6,\cdots$일 때 점 $\displaystyle \mathrm{P}_n$에서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 접선의 방정식은$\displaystyle y=\left(\frac2{(2n-1)\pi}\right)^2\left(x-\frac{(2n-1)\pi}2\right)$이고, 이 직선의 $\displaystyle y$절편은 $\displaystyle y_n=-\frac2{(2n-1)\pi}$이다. 따라서$\displaystyle y_n=\begin{cases}\frac2{(2n-1)\pi},&n=1,3,5,\cdots\\-\frac2{(2n-1)\pi},&n=2,4,6,\cdots\end{cases}$이다.

[3.3] 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}_n$과 $\displaystyle \mathrm{P}_{n+1}$ 사이의 거리는 $\displaystyle \pi$이므로$\displaystyle A_n=\frac12\times\pi\times\frac2{(2n-1)\pi}=\frac1{2n-1}$이고$\displaystyle \sum_{n=1}^{10}A_nA_{n+1}=\sum_{n=1}^{10}\frac1{(2n-1)(2n+1)}$이다. 부분분수로 바꾸어 계산하면$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^{10}A_nA_{n+1}&=\sum_{n=1}^{10}\frac12\left(\frac1{2n-1}-\frac1{2n+1}\right)\\&=\frac12\left\{\left(1-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac15\right)+\cdots+\left(\frac1{19}-\frac1{21}\right)\right\}=\frac{10}{21}\end{aligned}$이다.

[3.4] 부분합을 구하면$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n\frac1{(2k-1)(2k+1)}=\sum_{k=1}^n\frac12\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k+1}\right)=\frac n{2n+1}$이므로$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty A_nA_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac n{2n+1}=\frac12$이다.