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자연계열 3번

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서울과학기술대 2024학년도 모의논술 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2024mo/jayeon_3

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문제

[문제 3] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

함수 f(x)=cos⁡xx2\displaystyle f(x)=\frac{\cos x}{x^2} (x>0\displaystyle x>0)에 대하여 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 x\displaystyle x축과의 교점을 x\displaystyle x좌표가 작은 것부터 차례대로 P1(x1,0),P2(x2,0),P3(x3,0),⋯\displaystyle \mathrm{P}_1(x_1,0),\mathrm{P}_2(x_2,0),\mathrm{P}_3(x_3,0),\cdots이라고 하자. 또 n=1,2,3,⋯\displaystyle n=1,2,3,\cdots에 대하여 점 Pn\displaystyle \mathrm{P}_n에서 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 접선이 y\displaystyle y축과 만나는 점을 Qn(0,yn)\displaystyle \mathrm{Q}_n(0,y_n)이라고 하자.

[3.1] n=1,2,3,⋯\displaystyle n=1,2,3,\cdots에 대하여 xn\displaystyle x_n을 구하시오.

[3.2] n=1,2,3,⋯\displaystyle n=1,2,3,\cdots에 대하여 yn\displaystyle y_n을 구하시오.

[3.3] n=1,2,3,⋯\displaystyle n=1,2,3,\cdots에 대하여 삼각형 PnPn+1Qn\displaystyle \mathrm{P}_n\mathrm{P}_{n+1}\mathrm{Q}_n의 넓이를 An\displaystyle A_n이라고 할 때, ∑n=110AnAn+1\displaystyle \sum_{n=1}^{10}A_nA_{n+1}의 값을 구하시오.

[3.4] 문항 [3.3]에서 구한 An\displaystyle A_n에 대하여 급수 ∑n=1∞AnAn+1\displaystyle \sum_{n=1}^\infty A_nA_{n+1}의 합을 구하시오.

해설강의 준비중

서울과학기술대 2024학년도 모의논술 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2024mo/jayeon_3

[3.1] x2>0\displaystyle x^2>0이므로 cos⁡x=0\displaystyle \cos x=0이 되는 x\displaystyle x를 찾으면 된다. 따라서 xn=(2n−1)π2\displaystyle x_n=\frac{(2n-1)\pi}2이다.

[3.2] f(x)\displaystyle f(x)를 미분하면f′(x)=−sin⁡xx2−2cos⁡xx3\displaystyle f^{\prime}(x)=-\frac{\sin x}{x^2}-\frac{2\cos x}{x^3}이므로f′(xn)=−sin⁡xnxn2−2cos⁡xnxn3=−sin⁡xnxn2=−(2(2n−1)π)2sin⁡(2n−1)π2\displaystyle f^{\prime}(x_n)=\frac{-\sin x_n}{x_n^2}-\frac{2\cos x_n}{x_n^3}=-\frac{\sin x_n}{x_n^2}=-\left(\frac2{(2n-1)\pi}\right)^2\sin\frac{(2n-1)\pi}2이고, 사인값을 계산하면f′(xn)={−(2(2n−1)π)2,n=1,3,5,⋯(2(2n−1)π)2,n=2,4,6,⋯\displaystyle f^{\prime}(x_n)=\begin{cases}-\left(\frac2{(2n-1)\pi}\right)^2,&n=1,3,5,\cdots\\\left(\frac2{(2n-1)\pi}\right)^2,&n=2,4,6,\cdots\end{cases}이다. 따라서 n=1,3,5,⋯\displaystyle n=1,3,5,\cdots일 때 점 Pn\displaystyle \mathrm{P}_n에서 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 접선의 방정식은y=−(2(2n−1)π)2(x−(2n−1)π2)\displaystyle y=-\left(\frac2{(2n-1)\pi}\right)^2\left(x-\frac{(2n-1)\pi}2\right)이고, 이 직선의 y\displaystyle y절편은 yn=2(2n−1)π\displaystyle y_n=\frac2{(2n-1)\pi}이다. 또 n=2,4,6,⋯\displaystyle n=2,4,6,\cdots일 때 점 Pn\displaystyle \mathrm{P}_n에서 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 접선의 방정식은y=(2(2n−1)π)2(x−(2n−1)π2)\displaystyle y=\left(\frac2{(2n-1)\pi}\right)^2\left(x-\frac{(2n-1)\pi}2\right)이고, 이 직선의 y\displaystyle y절편은 yn=−2(2n−1)π\displaystyle y_n=-\frac2{(2n-1)\pi}이다. 따라서yn={2(2n−1)π,n=1,3,5,⋯−2(2n−1)π,n=2,4,6,⋯\displaystyle y_n=\begin{cases}\frac2{(2n-1)\pi},&n=1,3,5,\cdots\\-\frac2{(2n-1)\pi},&n=2,4,6,\cdots\end{cases}이다.

[3.3] 두 점 Pn\displaystyle \mathrm{P}_n과 Pn+1\displaystyle \mathrm{P}_{n+1} 사이의 거리는 π\displaystyle \pi이므로An=12×π×2(2n−1)π=12n−1\displaystyle A_n=\frac12\times\pi\times\frac2{(2n-1)\pi}=\frac1{2n-1}이고∑n=110AnAn+1=∑n=1101(2n−1)(2n+1)\displaystyle \sum_{n=1}^{10}A_nA_{n+1}=\sum_{n=1}^{10}\frac1{(2n-1)(2n+1)}이다. 부분분수로 바꾸어 계산하면∑n=110AnAn+1=∑n=11012(12n−1−12n+1)=12{(1−13)+(13−15)+⋯+(119−121)}=1021\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^{10}A_nA_{n+1}&=\sum_{n=1}^{10}\frac12\left(\frac1{2n-1}-\frac1{2n+1}\right)\\&=\frac12\left\{\left(1-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac15\right)+\cdots+\left(\frac1{19}-\frac1{21}\right)\right\}=\frac{10}{21}\end{aligned}이다.

[3.4] 부분합을 구하면Sn=∑k=1n1(2k−1)(2k+1)=∑k=1n12(12k−1−12k+1)=n2n+1\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n\frac1{(2k-1)(2k+1)}=\sum_{k=1}^n\frac12\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k+1}\right)=\frac n{2n+1}이므로∑n=1∞AnAn+1=lim⁡n→∞n2n+1=12\displaystyle \sum_{n=1}^\infty A_nA_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac n{2n+1}=\frac12이다.

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