자연계열 2번

[2.1] 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 도함수$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-3a=3(x+\sqrt a)(x-\sqrt a)$로부터 $\displaystyle y=f(x)$의 증감표는 다음과 같다.

이를 이용하여 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프를 그려보면 직선 $\displaystyle y=c$와 곡선 $\displaystyle y=f(x)$가 두 점에서 만나기 위해서는 $\displaystyle c$가 $\displaystyle y=f(x)$의 극댓값 혹은 극솟값과 같아야 한다는 것을 알 수 있다. 극댓값은 $\displaystyle f(-\sqrt a)=2a\sqrt a$이고 극솟값은 $\displaystyle f(\sqrt a)=-2a\sqrt a$이므로 구하는 값은 $\displaystyle c=2a\sqrt a$이다.

[2.2] 직선 $\displaystyle y=2a\sqrt a$와 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 교점의 $\displaystyle x$좌표는$\displaystyle x^3-3ax-2a\sqrt a=(x+\sqrt a)^2(x-2\sqrt a)=0$으로부터 $\displaystyle x=-\sqrt a$ 또는 $\displaystyle x=2\sqrt a$이다.이 구간에서 직선 $\displaystyle y=2a\sqrt a$가 곡선 $\displaystyle y=f(x)$보다 위쪽에 위치하므로$\displaystyle \begin{aligned}S&=\int_{-\sqrt a}^{2\sqrt a}(2a\sqrt a-(x^3-3ax))\,dx\\&=\Biggl[2a\sqrt a x-\frac{x^4}4+\frac{3ax^2}2\Biggr]_{-\sqrt a}^{2\sqrt a}=\frac{27a^2}4\end{aligned}$이다.

[2.3] $\displaystyle g(x)=\frac{x^2}{(x-2)^2(6-x)}$의 최솟값을 구간 $\displaystyle 3\leq x\leq5$에서 구하면 된다. 함수 $\displaystyle y=g(x)$가 닫힌구간에서 연속이므로 최솟값은 구간의 양 끝점 혹은 $\displaystyle g^{\prime}(x)=0$을 만족하는 점에서의 함숫값 중 가장 작은 값이다.$\displaystyle \begin{aligned}g^{\prime}(x)&=\frac{2x(x-2)^2(6-x)-x^2\{2(x-2)(6-x)-(x-2)^2\}}{(x-2)^4(6-x)^2}\\&=\frac{x(x^2+2x-24)}{(x-2)^3(6-x)^2}=\frac{x(x+6)(x-4)}{(x-2)^3(6-x)^2}\end{aligned}$이므로 $\displaystyle g^{\prime}(x)=0$을 만족하는 값은 구간 $\displaystyle 3\leq x\leq5$ 내에서 $\displaystyle x=4$ 뿐이다. 그러므로$\displaystyle g(3)=3,\quad g(4)=2,\quad g(5)=\frac{25}9$중 가장 작은 값인 $\displaystyle 2$가 최솟값이다.