자연계열 I 2-i번

<제시문 2-1>로부터 상대속도 $\displaystyle v_{BA}(t)=v_B(t)-v_A(t)$이다. 적분에 의하여

$\displaystyle v_A(t)=4,\quad v_B(t)=\begin{cases}16-3t,&0\le t\le k\\16-3k,&t\ge k\end{cases}$

가 된다. 그러므로, 상대속도를 구체적으로 계산하면 $\displaystyle v_{BA}(t)=\begin{cases}-3t+12,&0\le t\le k\\-3k+12,&t\ge k\end{cases}$이다. 이 때, 문제에서 주어진 상대적인 변위는 적분을 계산하여

$\displaystyle \int_0^{k+1}v_{BA}(t)dt=\int_0^k(-3t+12)dt+\int_k^{k+1}(-3k+12)dt=-\frac32k^2+9k+12$

가 된다. 변위는 위와 같이 부호를 가진 값이므로 이 양이 최대가 되는 경우는 물체 $\displaystyle B$가 물체 $\displaystyle A$로부터 가장 멀리 오른쪽에 있게 되는 $\displaystyle k$의 값을 구하면 된다. 미분을 하면 $\displaystyle -3k+9=0$일 때 최대가 되고, $\displaystyle k=3$이 된다. 최댓값은 대입하면 $\displaystyle \frac{51}2=25.5$(단위 : 미터)이다(혹은 완전 제곱꼴 $\displaystyle -\frac32(k-3)^2+\frac{51}2$로 변형하여 $\displaystyle k=3$과 최댓값을 구하여도 된다.).

[다른 예시답안] 다른 방법으로는 $\displaystyle v_{BA}(t)$를 구한 후, 적분을 하지 않고 아래 처럼 그래프를 그려서 그 그래프 밑의 넓이를 생각하여 $\displaystyle k+1$초에서 그 그래프 밑의 넓이인 $\displaystyle -\frac32k^2+9k+12$를 구한 후 최대가 되는 경우를 계산하여 $\displaystyle k=3$과 그 최댓값 $\displaystyle \frac{51}2$(단위 : 미터)을 얻을 수 있다.