성균관대 2010학년도 수시 자연계열 I 2-i번 해설

<제시문 2-1> 운동하는 관찰자가 물체의 운동을 관찰하면 속도가 다르게 보이는데, 이러한 속도를 상대속도라 한다. 상대속도는 (상대속도) = (물체의 속도) - (관찰자의 속도)로 구한다.

시각 $\displaystyle t$ 에서 직선운동을 하는 점 $\displaystyle P$ 의 가속도를 $\displaystyle a(t)$ 라 하고, 어떤 시각 $\displaystyle t_0$ 에서의 속도를 $\displaystyle v(t_0)$ 라 하면 시각 $\displaystyle t$ 에서의 점 $\displaystyle P$ 의 속도 $\displaystyle v(t)$ 는 $\displaystyle v(t)=\int_{t_0}^t a(t)dt+v(t_0)$ 이고, 시각이 $\displaystyle t=a$ 에서 $\displaystyle t=b$ 로 변할 때, 변위는 $\displaystyle \int_a^b v(t)dt$ 이다.

[문제 2-i] 동일한 직선 위를 운동하는 물체 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ 가 시각 $\displaystyle t=0$ 에서 원점에 있다. $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 의 초기( $\displaystyle t=0$ ) 속도는 각각 $\displaystyle 4\ \mathrm{m/s}$ 와 $\displaystyle 16\ \mathrm{m/s}$ 이다. 물체 $\displaystyle A$ 는 $\displaystyle 4\ \mathrm{m/s}$ 으로 등속도 운동을 한다. 물체 $\displaystyle B$ 는 시각 $\displaystyle t=k$ 까지 $\displaystyle -3\ \mathrm{m/s^2}$ 으로 등가속도 운동을 하고 $\displaystyle t=k$ 에서부터는 $\displaystyle (16-3k)\ \mathrm{m/s}$ 로 등속도 운동을 한다. $\displaystyle k+1$ 초 동안 물체 $\displaystyle A$ 에서 관찰한 물체 $\displaystyle B$ 의 상대적인 변위는 $\displaystyle \int_0^{k+1}v_{BA}(t)dt$ 로 구할 수 있다.

이 변위가 최대가 되는 $\displaystyle k$ 와 최댓값을 구하고 풀이과정을 기술하시오. 여기서, $\displaystyle k$ 는 양수이고, $\displaystyle v_{BA}(t)$ 는 물체 $\displaystyle A$ 에서 관찰한 물체 $\displaystyle B$ 의 상대속도이다.

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<제시문 2-1>로부터 상대속도 $\displaystyle v_{BA}(t)=v_B(t)-v_A(t)$ 이다. 적분에 의하여

$\displaystyle v_A(t)=4,\quad v_B(t)=\begin{cases}16-3t,&0\le t\le k\\16-3k,&t\ge k\end{cases}$

가 된다. 그러므로, 상대속도를 구체적으로 계산하면 $\displaystyle v_{BA}(t)=\begin{cases}-3t+12,&0\le t\le k\\-3k+12,&t\ge k\end{cases}$ 이다. 이 때, 문제에서 주어진 상대적인 변위는 적분을 계산하여

$\displaystyle \int_0^{k+1}v_{BA}(t)dt=\int_0^k(-3t+12)dt+\int_k^{k+1}(-3k+12)dt=-\frac32k^2+9k+12$

가 된다. 변위는 위와 같이 부호를 가진 값이므로 이 양이 최대가 되는 경우는 물체 $\displaystyle B$ 가 물체 $\displaystyle A$ 로부터 가장 멀리 오른쪽에 있게 되는 $\displaystyle k$ 의 값을 구하면 된다. 미분을 하면 $\displaystyle -3k+9=0$ 일 때 최대가 되고, $\displaystyle k=3$ 이 된다. 최댓값은 대입하면 $\displaystyle \frac{51}2=25.5$ (단위 : 미터)이다(혹은 완전 제곱꼴 $\displaystyle -\frac32(k-3)^2+\frac{51}2$ 로 변형하여 $\displaystyle k=3$ 과 최댓값을 구하여도 된다.).

[다른 예시답안] 다른 방법으로는 $\displaystyle v_{BA}(t)$ 를 구한 후, 적분을 하지 않고 아래 처럼 그래프를 그려서 그 그래프 밑의 넓이를 생각하여 $\displaystyle k+1$ 초에서 그 그래프 밑의 넓이인 $\displaystyle -\frac32k^2+9k+12$ 를 구한 후 최대가 되는 경우를 계산하여 $\displaystyle k=3$ 과 그 최댓값 $\displaystyle \frac{51}2$ (단위 : 미터)을 얻을 수 있다.

상대속도 그래프 아래 사다리꼴과 직사각형 넓이로 변위를 구한 대학의 손그림

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자연계열 I 2-i번

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