자연계열 I 2-ii번

성균관대 2010학년도 수시 자연계열 I 2-ii번 · mathesis.kr/archive/skku/2010su/jayeon1_2_ii

<제시문 2-2> 뉴턴은 질량을 가진 모든 물체 사이에 인력이 존재한다는 것을 발견하였는데, 이 힘을 만유인력이라고 한다. 질량 $\displaystyle m_1$ 인 물체와 질량 $\displaystyle m_2$ 인 물체가 거리 $\displaystyle r$ 만큼 떨어져 있을 때 두 물체 사이에 작용하는 만유인력의 크기는 다음과 같다.

$\displaystyle F=G\frac{m_1m_2}{r^2}$ ( $\displaystyle G$ 는 만유인력 상수). 여기서 힘의 방향은 두 물체를 서로 당기는 방향으로 작용한다.

[문제 2-ii] 좌표평면 위의 동일한 질량 $\displaystyle M$ 을 가지는 물체 $\displaystyle A,B$ 가 놓여 있다. 물체 $\displaystyle A$ 는 원점에 놓여 있고, 물체 $\displaystyle B$ 는 $\displaystyle (x-100)^2+y^2\le50^2,\ y\ge0$ 인 영역 위를 움직인다고 하자. 좌표평면 위의 점 $\displaystyle P$ 에 물체 $\displaystyle C$ 를 놓았을 때, $\displaystyle A,B$ 물체로 인해 $\displaystyle C$ 에 가해지는 만유인력 $\displaystyle \overrightarrow{F_A}$ 와 $\displaystyle \overrightarrow{F_B}$ 가 $\displaystyle \overrightarrow{F_A}=-\overrightarrow{F_B}$ 가 되는 $\displaystyle P$ 의 영역의 넓이를 구하고 풀이과정을 기술하시오.

해설강의 준비중

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<제시문2-2>에서 주어진 만유인력의 식과 벡터의 합에 대한 지식으로부터 $\displaystyle \overrightarrow{F_A}=-\overrightarrow{F_B}$ 가 성립하는 만유인력이 상쇄되는 점은 두 점 $\displaystyle A,B$ 로부터 거리가 같아야 하며 $\displaystyle A,B$ 를 연결하는 직선위에 있어야 한다.( $\displaystyle A,B$ 에 의해 가해진 만유인력이 서로 반대방향으로 상쇄되는 점이다). 그러므로, 주어진 벡터 방정식을 만족하는 점은 $\displaystyle A(0,0),B(x_1,y_1)$ 의 중점이 된다.

$\displaystyle B(x_1,y_1)$ 은 반원판 $\displaystyle (x_1-100)^2+y_1^2\le50^2,\ y_1\ge0$ 위를 움직이므로, 중점 $\displaystyle x=\frac{x_1}2,\ y=\frac{y_1}2$ 가 만족하는 영역은 $\displaystyle (2x-100)^2+(2y)^2\le50^2,\ y\ge0$ , 즉, $\displaystyle (x-50)^2+y^2\le25^2,\ y\ge0$ 이고 반지름이 25인 반원판이다. 그 영역의 넓이는 $\displaystyle \frac{625\pi}2$ 이다.(원의 넓이 공식= $\displaystyle \pi r^2$ )

[다른 예시 답안] 중점을 찾은 후 아래처럼 그림을 손으로 그려서 영역을 유추하여 넓이를 구하거나 혹은 경계부분만 가지고 영역을 찾아서 넓이를 구해도 된다.

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