자연계열 II 1-ii번

유전자의 염기서열을 분석하고자 할 때 현재의 기술로는 직접 5,000개의 염기를 분석할 수 없다. 따라서 유전자를 무작위적으로 잘라 500-1,000개의 조각으로 나누어 벡터에 삽입하여 염기를 분석하는 기법을 사용하게 된다. 본 문제는 이러한 사실에 기초하여 5,000개의 DNA를 무작위적으로 잘라 모든 가능한 500개의 염기로 이루어진 조각들을 만들어 10개의 조각을 선택할 때 5,000개의 염기를 모두 포함할 수 있는 조합이 얼마인지를 묻는 문제이다.

✔ 편의상 5000개의 염기에 순서대로 1부터 5000개의 번호를 부여하도록 한다. 500개의 염기만을 가지도록 잘라내었으므로 가능한 하나의 조각을 생각해보면 $\displaystyle n$번을 시작번호로 해서 $\displaystyle n+499$번을 마지막 번호로 갖는 수의 나열 (유한 수열)과 동일시 할 수 있다. 여기서 $\displaystyle n$은 1보다 크거나 같고 4501번보다 작거나 같아야 한다. 왜냐하면 $\displaystyle n$이 4501보다 크면 500개의 염기를 포함하지 못하기 때문이다. 그러므로 이러한 나열의 가능한 조각의 전체 가지수는 4501개임을 알 수 있다. 여기서 10개를 뽑아서 유전자 $\displaystyle A$를 모두 포함할 수 있는 경우는 모든 조각이 공통되는 부분이 하나도 없는 오직 한가지 경우밖에는 없다. 결론적으로 전체 $\displaystyle \binom{4501}{10}={}_{4501}\mathrm{C}_{10}$개의 선택의 경우 중에서 원하는 선택의 경우는 오직 한가지뿐이므로 그 확률은 $\displaystyle \frac1{{}_{4501}\mathrm{C}_{10}}$이 된다.

기타답안 : 예를 들어 5000개의 염기를 1번부터 5000번까지의 숫자로 배열한다고 가정하면 1–500, 2–501, 3–502, 4–503, …, 4500–4999, 4501–5000까지의 DNA 조각이 나타나기 때문에 총 경우의 수는 4501개이다. 4501개에서 10개의 DNA 조각을 꺼내는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{4501}\mathrm{C}_{10}$이다.

10개의 조각만을 선택할 때 유전자 $\displaystyle A$를 완벽하게 포함할 수 있는 경우의 수는 1개, 즉 1–500, 501–1000, 1001–1500, 1501–2000, …, 4501–5000개의 10개 조각만을 뽑는 경우이므로 경우의 수는 1개이다.

따라서 500개의 염기로 이루어진 DNA 조각들 중에서 10개의 DNA 조각만을 선택할 때 유전자 $\displaystyle A$를 완벽하게 포함할 수 있는 확률은 $\displaystyle \frac1{{}_{4501}\mathrm{C}_{10}}$이다.