자연계열 I 1번

(1-i) 문제에서 구하고자 하는 확률은 $\displaystyle n=6$, $\displaystyle p=3$일 때, 민수가 두 번째로 야구공을 선택할 때 결함이 없는 야구공을 선택할 확률과 같다. 이 상황의 확률을 구하자. 첫 번째 사람이 결함이 있는 야구공을 선택하고 민수가 결함이 없는 야구공을 선택할 확률은 $\displaystyle \frac{3}{6}\cdot\frac{3}{5}$이고, 첫 번째 사람이 결함이 없는 야구공을 선택했을 경우에 확률은 $\displaystyle \frac{3}{6}\cdot\frac{2}{5}$이다. 이 둘의 합은 $\displaystyle \frac{3}{6}=\frac{1}{2}$이다.

(1-ii) $\displaystyle A_{n,p}(k)$를 $\displaystyle n$개의 야구공 중에서 $\displaystyle p$개의 공에 결함이 있는 상황에서, $\displaystyle k$번째 사람이 결함이 있는 공을 뽑을 확률이라고 하자. $\displaystyle A_{n,0}(k)=0$ 이다.이제 모든 $\displaystyle n,p$에 대해, $\displaystyle A_{n,p}(k)=\frac{p}{n}$라는 사실을 $\displaystyle k$에 대한 수학적 귀납법을 사용하여 증명하자.

(i) $\displaystyle k=1$인 경우, $\displaystyle A_{n,p}(1)=\frac{p}{n}$임은 자명하다.

(ii) $\displaystyle k=k_{0}$ 일 때, 위의 사실이 성립한다고 가정하자.이때, $\displaystyle A_{n,p}(k_{0}+1)$는 첫 번째 사람이 결함이 있는 야구공을 뽑는 경우와 그렇지 않은 경우로 나뉜다. 각각의 경우가 발생할 확률은 $\displaystyle \frac{p}{n}$과 $\displaystyle \frac{n-p}{n}$이다.첫 번째 경우에 남은 사람의 수는 $\displaystyle n-1$, 남은 결함을 가진 야구공은 $\displaystyle p-1$개, 그리고 원래 $\displaystyle k_{0}+1$ 번째 뽑기로 한 사람은 $\displaystyle k_{0}$ 번째 뽑게 된다. 이 때 그 사람이 결함이 있는 야구공을 뽑을 확률은 $\displaystyle A_{n-1,p-1}(k_{0})$이다.이와 마찬가지로, 두 번째 경우에 원래의 $\displaystyle k_{0}+1$ 번째에 공을 뽑기로 한 사람이 결함이 있는 야구공을 뽑을 확률은 $\displaystyle A_{n-1,p}(k_{0})$이다.따라서, 아래의 식이 성립한다.

$\displaystyle A_{n,p}(k_{0}+1)=\frac{p}{n}A_{n-1,p-1}(k_{0})+\frac{n-p}{n}A_{n-1,p}(k_{0})$

가정에 의해 $\displaystyle A_{n-1,p-1}(k_{0})=\frac{p-1}{n-1}$이고 $\displaystyle A_{n-1,p}(k_{0})=\frac{p}{n-1}$이다.따라서, $\displaystyle A_{n,p}(k_{0}+1)=\frac{p}{n}\frac{p-1}{n-1}+\frac{n-p}{n}\frac{p}{n-1}=\frac{p}{n}$이다.이로부터 우리는 결함이 있는 야구공을 뽑을 확률이 순서에 상관없이 항상 일정함을 알 수 있다.