성균관대 2012학년도 수시 자연계열 II 1번 해설

[문제 1] 다음 <제시문 1-1>부터 <제시문 1-4>를 읽고 [문제 1-i]과 [문제 1-ii]를 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

<제시문 1-1> 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 에서 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x$ 에 대한 다항식일 때, 이 함수를 다항함수라 하고 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x$ 에 대한 분수식일 때, 이 함수를 분수함수라 한다.

<제시문 1-2> 분수함수는 두 다항함수의 몫으로 나타나므로 분모를 $\displaystyle 0$ 으로 하지 않는 모든 실수에서 연속이다.

<제시문 1-3> 다항함수 $\displaystyle p(x)=\sum_{n=0}^5a_nx^n=\left(x-\frac12\right)(x-3)(x-4)(x-\alpha)(x-\beta)$ 라고 하자. 여기서 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 는 $\displaystyle 0$ 이 아닌 실수이다.

<제시문 1-4> 다항함수 $\displaystyle q(x)=\sum_{n=0}^5a_{5-n}x^n$ 이라고 하자.

[문제 1-i] $\displaystyle 2$ 가 아닌 모든 실수 $\displaystyle c$ 에 대하여 $\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{p(x)}{q(x)}$ 가 존재하도록 <제시문 1-3>의 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 값을 구하시오.

[문제 1-ii] 위에서 구한 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 를 대입한 후, $\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{p(x)}{q(x)}$ 의 값을 구하시오.

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[문제 1-i] $\displaystyle \alpha\beta\ne0$ 이므로 $\displaystyle p(0)\ne0$ 이다.우선 $\displaystyle p(x)$ 와 $\displaystyle q(x)$ 의 근들 사이의 관계를 알아보자: $\displaystyle \begin{aligned}p(c)=0\ &\Rightarrow\ a_0+a_1c+a_2c^2+a_3c^3+a_4c^4+a_5c^5=0,\ c\ne0.\\&\Rightarrow\ c^5\left(a_5+a_4\frac1c+a_3\frac1{c^2}+a_2\frac1{c^3}+a_1\frac1{c^4}+a_0\frac1{c^5}\right)=0\\&\Rightarrow\ q\left(\frac1c\right)=0.\end{aligned}$ 따라서 $\displaystyle q(x)$ 의 근들은 $\displaystyle 2,\ \frac13,\ \frac14,\ \frac1\alpha,\ \frac1\beta$ 이다. $\displaystyle c\ne2$ 인 모든 실수에 대하여 극한값이 존재하므로 $\displaystyle \left\{\frac13,\ \frac14,\ \frac1\alpha,\ \frac1\beta\right\}=\{\alpha,\beta,3,4\}$ 이며, 따라서 $\displaystyle \left\{\frac13,\ \frac14\right\}=\{\alpha,\beta\}$ .

[문제 1-ii] $\displaystyle q(x)$ 의 5차항의 계수= $\displaystyle p(x)$ 의 상수항의 계수= $\displaystyle -\frac12$ 이므로 $\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}=\frac{\left(x-\frac12\right)(x-3)(x-4)\left(x-\frac13\right)\left(x-\frac14\right)}{-\frac12(x-2)(x-3)(x-4)\left(x-\frac13\right)\left(x-\frac14\right)}=\frac{\left(x-\frac12\right)}{-\frac12(x-2)}$ 이다.따라서 $\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{p(x)}{q(x)}=\lim_{x\to3}\frac{\left(x-\frac12\right)}{-\frac12(x-2)}=\frac{3-\frac12}{-\frac12(3-2)}=-5.$

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자연계열 II 1번

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