자연계열 II 1번

[문제 1-i]$\displaystyle \alpha\beta\ne0$ 이므로 $\displaystyle p(0)\ne0$ 이다.우선 $\displaystyle p(x)$와 $\displaystyle q(x)$의 근들 사이의 관계를 알아보자:$\displaystyle \begin{aligned}p(c)=0\ &\Rightarrow\ a_0+a_1c+a_2c^2+a_3c^3+a_4c^4+a_5c^5=0,\ c\ne0.\\&\Rightarrow\ c^5\left(a_5+a_4\frac1c+a_3\frac1{c^2}+a_2\frac1{c^3}+a_1\frac1{c^4}+a_0\frac1{c^5}\right)=0\\&\Rightarrow\ q\left(\frac1c\right)=0.\end{aligned}$따라서 $\displaystyle q(x)$의 근들은 $\displaystyle 2,\ \frac13,\ \frac14,\ \frac1\alpha,\ \frac1\beta$이다.$\displaystyle c\ne2$인 모든 실수에 대하여 극한값이 존재하므로$\displaystyle \left\{\frac13,\ \frac14,\ \frac1\alpha,\ \frac1\beta\right\}=\{\alpha,\beta,3,4\}$이며, 따라서$\displaystyle \left\{\frac13,\ \frac14\right\}=\{\alpha,\beta\}$.

[문제 1-ii]$\displaystyle q(x)$의 5차항의 계수=$\displaystyle p(x)$의 상수항의 계수=$\displaystyle -\frac12$ 이므로$\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}=\frac{\left(x-\frac12\right)(x-3)(x-4)\left(x-\frac13\right)\left(x-\frac14\right)}{-\frac12(x-2)(x-3)(x-4)\left(x-\frac13\right)\left(x-\frac14\right)}=\frac{\left(x-\frac12\right)}{-\frac12(x-2)}$ 이다.따라서$\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{p(x)}{q(x)}=\lim_{x\to3}\frac{\left(x-\frac12\right)}{-\frac12(x-2)}=\frac{3-\frac12}{-\frac12(3-2)}=-5.$