자연계열 I 2번

[문제 2-i]$\displaystyle f(x)=\cos^{2}x-1+x^{2}$ 이라고 하면, 이 함수는 $\displaystyle y$축에 대칭이므로 $\displaystyle x\ge0$이라고 가정할 수 있다. $\displaystyle f(0)=0$이고 $\displaystyle f^{\prime}(x)=-2\cos x\sin x+2x=2x-\sin(2x)$이다. 따라서 $\displaystyle f^{\prime}(x)\ge0$을 보이면 충분하다.(혹은 $\displaystyle f(x)=x^{2}-\sin^{2}x$이므로 $\displaystyle x\ge\sin x$임을 보이면 충분하다.)Comment. 괄호 안의 방법에서는 $\displaystyle x\ge0$일 때 $\displaystyle |\sin x|\le x$임을 확인하면 된다. $\displaystyle 0\le x\le1$에서는 $\displaystyle 0\le\sin x\le x$이고, $\displaystyle x\ge1$에서는 $\displaystyle |\sin x|\le1\le x$이다.$\displaystyle f^{\prime}(0)=0$이고 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=2-2\cos(2x)\ge0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)\ge0$이다.

[문제 2-ii]주어진 관계식에서 $\displaystyle r_{n}=\cos(1)\cos\left(\frac{1}{2}\right)\cdots\cos\left(\frac{1}{n}\right)$ 임을 확인할 수 있다. 우선, $\displaystyle |\cos(x)|\le1$이므로 $\displaystyle r_{n}^{2}\le1$이다.그리고 $\displaystyle 1<\frac{\pi}{3}=1.04\cdots$이므로 $\displaystyle \cos(1)>\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$이다

[문제 2-i]의 결과를 이용하면$\displaystyle \begin{aligned} r_{n}^{2} &\ge \cos^{2}(1)\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\right)\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\right)\cdots\left(1-\left(\frac{1}{n}\right)^{2}\right) \\ &\ge \cos^{2}(1)\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n}\right) \\ &= \cos^{2}(1)\frac{n+1}{2n}>\frac{1}{2}\cos^{2}(1)>\frac{1}{8} \end{aligned}$Caution. 일반식을 구한 뒤에는 적용 범위와 작은 경우의 예외를 확인해야 한다: 이 곱 계산은 $\displaystyle n\ge1$에서 적용한다. $\displaystyle n=0$일 때에는 $\displaystyle r_0=1$이므로 결론이 성립한다.따라서 $\displaystyle r_{n}^{2}\ge\frac{1}{8}$이고, 점 $\displaystyle z_{n}$은 영역 $\displaystyle A$에 포함되어 있다.