자연계 1교시 수학1

[수학1 - ⅰ]<제시문3>에 의해 세 점 $\displaystyle P_1,P_2,P_3$을 지나는 평면의 방정식은 $\displaystyle x+y+z=t$이다.

<제시문1>의 점과 평면 사이의 거리 공식에 점 $\displaystyle Q(1,1,1)$와 평면$\displaystyle x+y+z=t$를 적용하면, 구하고자 하는 거리는 $\displaystyle \frac{|3-t|}{\sqrt3}=\sqrt3-\frac t{\sqrt3}$이다.

[수학1 - ⅱ]한 변의 길이가 양의 실수 $\displaystyle a$인 정삼각형의 내접원의 반지름은 $\displaystyle \frac a{2\sqrt3}$이다.<제시문3>에 의해 삼각형 $\displaystyle P_1P_2P_3$은 한 변의 길이가 $\displaystyle a=\sqrt2t$인 정삼각형이므로, 내접원의 반지름은 $\displaystyle \frac{\sqrt2t}{2\sqrt3}$이고 이를 간단히 표현하면 $\displaystyle \frac t{\sqrt6}=\frac{\sqrt6t}6$이다.

[수학1 - ⅲ]원뿔 $\displaystyle V_t$의 밑면의 반지름은 $\displaystyle \frac t{\sqrt6}$이고 높이는 $\displaystyle \sqrt3-\frac t{\sqrt3}$이므로,<제시문2>에 의해 원뿔 $\displaystyle V_t$의 부피는 $\displaystyle \frac\pi3\left(\frac t{\sqrt6}\right)^2\left(\sqrt3-\frac t{\sqrt3}\right)=\frac\pi{18\sqrt3}t^2(3-t)$이다.이 식을 함수 $\displaystyle f(t)$라고 정의하자.

이 식을 $\displaystyle t$에 대해 미분하면 $\displaystyle f^{\prime}(t)=\frac\pi{18\sqrt3}(6t-3t^2)=\frac\pi{18\sqrt3}3t(2-t)$이다.$\displaystyle f^{\prime}(t)=0$의 해는 열린 구간 $\displaystyle (0,3)$에서 유일한 해 $\displaystyle t=2$를 가진다.

$\displaystyle f^{\prime\prime}(2)<0$이므로, $\displaystyle f(t)$는 $\displaystyle t=2$에서 최댓값을 가진다.$\displaystyle t=2$를 $\displaystyle V_t$에 대입하면, $\displaystyle V_2$의 값은 $\displaystyle \frac\pi{18\sqrt3}2^2(3-2)=\frac{2\pi}{9\sqrt3}$이다.