자연계 2교시 수학1

[수학1-ⅰ]$\displaystyle P$의 좌표를 $\displaystyle P(x_1,y_1)$이라 두자. $\displaystyle P$는 타원 $\displaystyle E_{2,1}$ 위의 점이므로$\displaystyle \frac{x_1^2}4+y_1^2=1\qquad(1)$이고, 사각형 $\displaystyle OCPD$의 넓이는 $\displaystyle x_1y_1$이다. 산술기하평균과 (1)에 의해$\displaystyle x_1y_1=2\left(\frac{x_1}2\times y_1\right)\le\frac22\left(\frac{x_1^2}4+y_1^2\right)=1$등호는 $\displaystyle \frac{x_1}2=y_1$ 일 때 성립하고 (1)과 연립하면 $\displaystyle x_1=\sqrt2$, $\displaystyle y_1=\frac1{\sqrt2}$을 얻는다.즉 $\displaystyle P\left(\sqrt2,\frac1{\sqrt2}\right)$이고, 이때 넓이는 $\displaystyle V=1$이다.

[수학1-ⅱ]$\displaystyle P$의 좌표를 $\displaystyle P(x_1,y_1)$이라 두자. $\displaystyle P$는 타원 $\displaystyle E_{\sqrt3,\frac{\sqrt6}2}$ 위의 점이므로$\displaystyle \frac{x_1^3}{(\sqrt3)^2}+\frac{y_1^2}{\left(\frac{\sqrt6}2\right)^2}=\frac{x_1^2}3+\frac23y_1^2=1\qquad(1)$Correction. 첫 항의 $\displaystyle x_1^3$은 $\displaystyle x_1^2$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.회전체의 부피는 $\displaystyle V=\pi y_1^2x_1$이고, (1)을 대입하면 $\displaystyle V=\frac{3\pi}2x_1\left(1-\frac{x_1^2}3\right)$를 얻는다.따라서 $\displaystyle \frac{dV}{dx_1}=\frac{3\pi}2(1-x_1^2)=\frac{3\pi}2(1-x_1)(1+x_1)$ 이고,$\displaystyle x_1=1$에서 최댓값을 가진다. (1)로부터 $\displaystyle y_1=1$, 즉 $\displaystyle P(1,1)$임을 알 수 있고 이때의 부피는 $\displaystyle V=\pi$이다.

[수학1-ⅲ]$\displaystyle P$의 좌표를 $\displaystyle (x_1,y_1)$라 두자. 그러면 $\displaystyle P$에서 $\displaystyle x$축, $\displaystyle y$축에 내린 수선의 발은 각각$\displaystyle C=(x_1,0),\ D=(0,y_1)$이다. $\displaystyle \qquad---(1)$접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1$로 주어진다.따라서 $\displaystyle x$축, $\displaystyle y$축과의 교점은 각각 $\displaystyle A=\left(\frac{a^2}{x_1},0\right),\ B=\left(0,\frac{b^2}{y_1}\right)$ 이다. $\displaystyle \qquad---(2)$(1), (2)로부터 $\displaystyle \overline{OA}\times\overline{OB}\times\overline{OC}\times\overline{OD}=\frac{a^2}{x_1}\times\frac{b^2}{y_1}\times x_1\times y_1=a^2b^2$ 가 되어 $\displaystyle P$의 위치에 관계없이, (즉, $\displaystyle x_1,y_1$의 값에 관계없이) $\displaystyle a,b$에 의해 결정됨을 알 수 있다.