자연계 1교시 수학2

[ 수학 2-i](가) $\displaystyle \int_0^1f(x)dx=\int_0^1\frac d{dx}\left\{\frac{(x+1)^2}2\right\}\times\ln(x+1)dx$이므로 <제시문 2>를 적용하면$\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=\left.\frac{(x+1)^2}2\ln(x+1)\right|_0^1-\int_0^1\frac{(x+1)^2}2\frac1{x+1}dx=2\ln2-\frac34$을 얻는다.

(나) $\displaystyle 0\le x\le1$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\ln(x+1)+1>0$ 이므로 $\displaystyle 0\le x\le1$에서 $\displaystyle f$는 증가한다. 따라서 $\displaystyle x=1$에서 최댓값을 가지고 그 값은 $\displaystyle f(1)=2\ln2$이다.

한편, $\displaystyle f(1)-f(0)=2\ln2$이므로, (가)의 결과에 의해 $\displaystyle 2\ln2<2\ln2+2\ln2-\frac34$즉, $\displaystyle \frac38\le\ln2$를 보이면 된다. 로그함수의 정의에 의해 $\displaystyle e^{\frac38}\le2$, 즉 $\displaystyle e^3\le2^8$이 된다.그런데 <제시문 4>에 의해 $\displaystyle e^3<3^3=27<256=2^8$이므로 문제의 부등식이 성립함을 알 수 있다.

[수학 2-ⅱ]$\displaystyle g$가 주어진 구간에서 증가하므로 <제시문 1>에 의해 $\displaystyle g(0)\le g(x)$가 성립한다. 양변을 적분하면$\displaystyle g(0)=\int_0^1g(0)dx\le\int_0^1g(x)dx$따라서$\displaystyle \begin{aligned}g(x)&\le g(1)\\&\le g(1)+\left\{\int_0^1g(x)dx-g(0)\right\}\\&\le g(1)-g(0)+\int_0^1g(x)dx.\end{aligned}$

[수학 2-ⅲ]$\displaystyle h(x)$의 최댓값은 $\displaystyle h\left(\frac78\right)=-\sin\left(\frac{3\pi}2\right)=1$이다. (삼각함수는 $\displaystyle 1$보다 클 수 없으므로)한편 $\displaystyle h$의 증가폭은 $\displaystyle h(1)-h(0)=-\sin\left(\frac{5\pi}3\right)+\sin\left(\frac\pi3\right)=\frac{\sqrt3}2+\frac{\sqrt3}2=\sqrt3$ 이고

$\displaystyle T=\frac\pi3(4x+1)$로 놓으면 $\displaystyle dT=\frac{4\pi}3dx$이므로 치환적분법에 의해 $\displaystyle h(x)$의 평균값은$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1-\sin\left(\frac\pi3(4x+1)\right)dx&=-\frac3{4\pi}\int_{\frac\pi3}^{\frac{5\pi}3}\sin T\,dT\\&=\frac3{4\pi}\left(\cos\frac{5\pi}3-\cos\frac\pi3\right)\\&=0\end{aligned}$가 된다. 따라서 $\displaystyle h(x)\le1\le\sqrt3=h(1)-h(0)+\int_0^1h(x)dx$ 임을 알 수 있다.