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자연계 2교시 수학2

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성균관대 2015학년도 수시 자연계 2교시 수학2 · mathesis.kr/archive/skku/2015su/jayeongyo2_2

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문제

[ 수학2 ]다음 <제시문1> ~ <제시문4>를 읽고 [수학2 - ⅰ] ~ [수학2 - ⅲ]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

<제시문1>함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 F′(x)=f(x)\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)인 함수 F(x)\displaystyle F(x)를 f(x)\displaystyle f(x)의 부정적분 또는 원시함수라 하고, 기호로 ∫f(x)dx\displaystyle \int f(x)dx와 같이 나타낸다.

<제시문2>두 함수 f(x),g(x)\displaystyle f(x),g(x)가 미분가능할 때, ∫f(x)g′(x)dx=f(x)g(x)−∫f′(x)g(x)dx\displaystyle \int f(x)g^{\prime}(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime}(x)g(x)dx이다.

<제시문3>함수 f1(x)=x2ex\displaystyle f_1(x)=x^2e^x로 정의한다.

<제시문4>자연수 n\displaystyle n에 대하여 함수 fn+1(x)\displaystyle f_{n+1}(x)는 fn(x)\displaystyle f_n(x)의 부정적분 중의 하나이며 다항식 Pn+1(x)\displaystyle P_{n+1}(x)에 대하여 fn+1(x)=Pn+1(x)ex\displaystyle f_{n+1}(x)=P_{n+1}(x)e^x의 꼴을 가진다.

[수학2 - ⅰ] 함수 f2(x)\displaystyle f_2(x)를 x\displaystyle x에 관한 식으로 나타내고 그 이유를 논하시오.

[수학2 - ⅱ] 자연수 n\displaystyle n에 대하여 fn(x)\displaystyle f_n(x)를 x\displaystyle x와 n\displaystyle n에 관한 식으로 나타내고 그 이유를 논하시오.

[수학2 - ⅲ] ∑n=220151fn(0)\displaystyle \sum_{n=2}^{2015}\frac1{f_n(0)}의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.

해설강의 준비중

성균관대 2015학년도 수시 자연계 2교시 수학2 · mathesis.kr/archive/skku/2015su/jayeongyo2_2

ⅰ · 부분적분법을 이용하여 함수의 부정적분을 유도할 수 있다.

[수학2-ⅰ]<제시문4>에서 함수 f2(x)\displaystyle f_2(x)는 f1(x)\displaystyle f_1(x)의 부정적분 중의 하나이다.<제시문1>에서 정의된 함수 f1(x)=x2ex\displaystyle f_1(x)=x^2e^x에 <제시문2>의 부분적분법을 적용하면, f2(x)=∫x2(ex)′dx=x2ex−∫2xexdx\displaystyle f_2(x)=\int x^2(e^x)^{\prime}dx=x^2e^x-\int2xe^xdx이다.Correction. 함수 f1\displaystyle f_1의 정의를 가리키는 “<제시문1>”은 “<제시문3>”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.다시 <제시문2>의 부분적분법에 의해 ∫xexdx=(x−1)ex+C\displaystyle \int xe^xdx=(x-1)e^x+C (C\displaystyle C는 임의의 상수)이다.이 두 식으로부터 f2(x)=(x2−2x+2)ex−2C\displaystyle f_2(x)=(x^2-2x+2)e^x-2C가 된다.<제시문4>에 의해 f2(x)=P2(x)ex\displaystyle f_2(x)=P_2(x)e^x이므로, 상수 C\displaystyle C의 값은 0\displaystyle 0이다.따라서 f2(x)=(x2−2x+2)ex\displaystyle f_2(x)=(x^2-2x+2)e^x이다.

ⅱ · 함수의 미분법과 부분적분법을 이용하여 함수의 부정적분을 유도할 수 있다.

[수학2-ⅱ]다항식 Pn(x)\displaystyle P_n(x)는 최고차 항의 계수가 1\displaystyle 1인 2\displaystyle 2차 다항식이다.그러므로 Pn(x)=x2+anx+bn\displaystyle P_n(x)=x^2+a_nx+b_n으로 가정하자.여기서 n=1\displaystyle n=1일 때, a1=b1=0\displaystyle a_1=b_1=0이다.<제시문4>의 조건으로부터 fn+1(x)\displaystyle f_{n+1}(x)는 fn(x)\displaystyle f_n(x)의 부정적분 중 하나이고, (fn+1(x))′=(Pn+1(x))′+Pn+1(x)\displaystyle (f_{n+1}(x))^{\prime}=(P_{n+1}(x))^{\prime}+P_{n+1}(x)가 성립하므로,Correction. 곱의 미분법에 따라 오른쪽에 ex\displaystyle e^x가 곱해져야 한다. 바른 식은 (fn+1(x))′=((Pn+1(x))′+Pn+1(x))ex\displaystyle (f_{n+1}(x))^{\prime}=((P_{n+1}(x))^{\prime}+P_{n+1}(x))e^x이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.식 Pn+1(x)′+Pn+1(x)=Pn(x)\displaystyle P_{n+1}(x)^{\prime}+P_{n+1}(x)=P_n(x)를 얻게 된다.

ⅱ · 수열의 점화식으로부터, 등차수열과 계차수열의 일반항을 구할 수 있다.

이로부터 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}과 {bn}\displaystyle \{b_n\}에 대한 두 개의 점화식an+1+2=an, an+1+bn+1=bn\displaystyle a_{n+1}+2=a_n,\ a_{n+1}+b_{n+1}=b_n을 얻을 수 있다.수열 {an}\displaystyle \{a_n\}은 초기항이 a1=0\displaystyle a_1=0이고 등차가 −2\displaystyle -2인 등차수열이므로, 일반항은 an=−2(n−1)\displaystyle a_n=-2(n-1)이다. 앞의 관계식으로부터 bn+1=bn+2n\displaystyle b_{n+1}=b_n+2n을 얻게 되므로, 계차수열 {bn}\displaystyle \{b_n\}의 일반항은 bn=2((n−1)+(n−2)+⋯+2+1)=n(n−1)\displaystyle b_n=2((n-1)+(n-2)+\cdots+2+1)=n(n-1)이다. 이를 Pn(x)=x2+anx+bn\displaystyle P_n(x)=x^2+a_nx+b_n에 대입하면, fn(x)=Pn(x)ex\displaystyle f_n(x)=P_n(x)e^x이므로 fn(x)=(x2−2(n−1)x+n(n−1))ex\displaystyle f_n(x)=(x^2-2(n-1)x+n(n-1))e^x이다.

ⅲ · 여러 가지 수열의 합을 도출할 수 있다.

[수학2-ⅲ]함수식 fn(x)=(x2−2(n−1)x+n(n−1))ex\displaystyle f_n(x)=(x^2-2(n-1)x+n(n-1))e^x에 x=0\displaystyle x=0을 대입하면, fn(0)=n(n−1)\displaystyle f_n(0)=n(n-1)이 되므로 문제의 식은 ∑n=220151n(n−1)\displaystyle \sum_{n=2}^{2015}\frac1{n(n-1)}이다.1n(n−1)=1n−1−1n\displaystyle \frac1{n(n-1)}=\frac1{n-1}-\frac1n이 성립하므로, ∑n=22015(1n−1−1n)=1−12015=20142015\displaystyle \sum_{n=2}^{2015}\left(\frac1{n-1}-\frac1n\right)=1-\frac1{2015}=\frac{2014}{2015}이다.

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