자연계 2교시 수학2

[수학2-ⅰ]<제시문4>에서 함수 $\displaystyle f_2(x)$는 $\displaystyle f_1(x)$의 부정적분 중의 하나이다.<제시문1>에서 정의된 함수 $\displaystyle f_1(x)=x^2e^x$에 <제시문2>의 부분적분법을 적용하면, $\displaystyle f_2(x)=\int x^2(e^x)^{\prime}dx=x^2e^x-\int2xe^xdx$이다.Correction. 함수 $\displaystyle f_1$의 정의를 가리키는 “<제시문1>”은 “<제시문3>”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.다시 <제시문2>의 부분적분법에 의해 $\displaystyle \int xe^xdx=(x-1)e^x+C$ ($\displaystyle C$는 임의의 상수)이다.이 두 식으로부터 $\displaystyle f_2(x)=(x^2-2x+2)e^x-2C$가 된다.<제시문4>에 의해 $\displaystyle f_2(x)=P_2(x)e^x$이므로, 상수 $\displaystyle C$의 값은 $\displaystyle 0$이다.따라서 $\displaystyle f_2(x)=(x^2-2x+2)e^x$이다.

[수학2-ⅱ]다항식 $\displaystyle P_n(x)$는 최고차 항의 계수가 $\displaystyle 1$인 $\displaystyle 2$차 다항식이다.그러므로 $\displaystyle P_n(x)=x^2+a_nx+b_n$으로 가정하자.여기서 $\displaystyle n=1$일 때, $\displaystyle a_1=b_1=0$이다.<제시문4>의 조건으로부터 $\displaystyle f_{n+1}(x)$는 $\displaystyle f_n(x)$의 부정적분 중 하나이고, $\displaystyle (f_{n+1}(x))^{\prime}=(P_{n+1}(x))^{\prime}+P_{n+1}(x)$가 성립하므로,Correction. 곱의 미분법에 따라 오른쪽에 $\displaystyle e^x$가 곱해져야 한다. 바른 식은 $\displaystyle (f_{n+1}(x))^{\prime}=((P_{n+1}(x))^{\prime}+P_{n+1}(x))e^x$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.식 $\displaystyle P_{n+1}(x)^{\prime}+P_{n+1}(x)=P_n(x)$를 얻게 된다.

이로부터 수열 $\displaystyle \{a_n\}$과 $\displaystyle \{b_n\}$에 대한 두 개의 점화식$\displaystyle a_{n+1}+2=a_n,\ a_{n+1}+b_{n+1}=b_n$을 얻을 수 있다.수열 $\displaystyle \{a_n\}$은 초기항이 $\displaystyle a_1=0$이고 등차가 $\displaystyle -2$인 등차수열이므로, 일반항은 $\displaystyle a_n=-2(n-1)$이다. 앞의 관계식으로부터 $\displaystyle b_{n+1}=b_n+2n$을 얻게 되므로, 계차수열 $\displaystyle \{b_n\}$의 일반항은 $\displaystyle b_n=2((n-1)+(n-2)+\cdots+2+1)=n(n-1)$이다. 이를 $\displaystyle P_n(x)=x^2+a_nx+b_n$에 대입하면, $\displaystyle f_n(x)=P_n(x)e^x$이므로 $\displaystyle f_n(x)=(x^2-2(n-1)x+n(n-1))e^x$이다.

[수학2-ⅲ]함수식 $\displaystyle f_n(x)=(x^2-2(n-1)x+n(n-1))e^x$에 $\displaystyle x=0$을 대입하면, $\displaystyle f_n(0)=n(n-1)$이 되므로 문제의 식은 $\displaystyle \sum_{n=2}^{2015}\frac1{n(n-1)}$이다.$\displaystyle \frac1{n(n-1)}=\frac1{n-1}-\frac1n$이 성립하므로, $\displaystyle \sum_{n=2}^{2015}\left(\frac1{n-1}-\frac1n\right)=1-\frac1{2015}=\frac{2014}{2015}$이다.