자연계 1교시 수학2

[수학 2]집합 $\displaystyle A$는$\displaystyle \sqrt{(x+2)^2+y^2}+\sqrt{(x-2)^2+y^2}=2\sqrt a$를 만족하는 점들의 집합이다. 이를 정리하면 타원$\displaystyle \frac{x^2}a+\frac{y^2}{a-4}=1\qquad ---------\ (1)$의 그래프를 얻는다.

집합 $\displaystyle B$는$\displaystyle \left|\sqrt{(x+\sqrt a)^2+y^2}-\sqrt{(x-\sqrt a)^2+y^2}\right|=4$를 만족하는 점들의 집합이다. 이를 정리하면 쌍곡선$\displaystyle \frac{x^2}4-\frac{y^2}{a-4}=1\qquad ----------\ (2)$을 얻는다.

두 식 (1)과 (2)를 더하면 $\displaystyle x^2=\frac{8a}{a+4}$를 얻고, 이를 다시 (1), (2) 중 하나에 대입하면 $\displaystyle y^2=\frac{(a-4)^2}{a+4}$를 얻는다.

이 값을 $\displaystyle x^2+y^2=5$에 대입하면 $\displaystyle \frac{a^2+16}{a+4}=5$, 즉, $\displaystyle a^2-5a-4=0$를 얻는다.이 방정식의 해는 $\displaystyle a=\frac{5\pm\sqrt{41}}2$이고 이 중 문제의 조건에 부합하는 해는 $\displaystyle a=\frac{5+\sqrt{41}}2$ 이다.