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자연계 2교시 수학1

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성균관대 2016학년도 수시 자연계 2교시 수학1 · mathesis.kr/archive/skku/2016su/jayeongyo2_1

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[ 수학 1 ]다음 <제시문1> ~ <제시문2>를 읽고 [수학1 - ⅰ] ~ [수학1 - ⅱ]를 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

<제시문1>오른쪽 그림과 같이 직각이등변삼각형 OAD\displaystyle \mathrm{OAD}를 밑면으로 하고, 높이가 1\displaystyle 1인 삼각기둥 OADCBE\displaystyle \mathrm{OADCBE}가 좌표공간 안에 옆으로 눕혀있다.양의 실수 α\displaystyle \alpha에 대하여, xy\displaystyle xy평면 위에 곡선 y=f(x)=xα\displaystyle y=f(x)=x^\alpha 위의 점 P(x,xα,0)\displaystyle \mathrm{P}(x,x^\alpha,0)에서 x\displaystyle x축 위에 내린 수선의 발을 Q\displaystyle \mathrm{Q}라 하자. 선분 PQ\displaystyle \mathrm{PQ}를 밑변으로 하고 높이가 1−x\displaystyle 1-x인 직사각형 PQRS\displaystyle \mathrm{PQRS}를 x\displaystyle x축에 수직인 평면 위에 그린다.점 P\displaystyle \mathrm{P}가 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)위를 원점에서 점 (1,1,0)\displaystyle (1,1,0)까지 움직일 때, 이 직사각형이 만드는 입체도형을 S1\displaystyle S_1이라고 한다. 이 입체도형은 삼각기둥 OADCBE\displaystyle \mathrm{OADCBE} 안에 놓이게 되는데, 삼각기둥 내부이면서 S1\displaystyle S_1의 외부인 입체도형을 S2\displaystyle S_2라고 한다.

옆으로 놓인 삼각기둥 OADCBE와 직사각형 단면 PQRS
삼각기둥을 입체도형 S₁과 S₂로 나눈 모습

<제시문2>양의 실수 β\displaystyle \beta에 대하여 ∫xβdx=1β+1xβ+1+C\displaystyle \int x^\beta dx=\frac1{\beta+1}x^{\beta+1}+C (C\displaystyle C는 상수)이다.

[수학1 - ⅰ] <제시문1>에서 α=1\displaystyle \alpha=1일 때 S1\displaystyle S_1의 부피의 값을 구하고, 그 이유를 논하시오.

[수학1 - ⅱ] S1\displaystyle S_1과 S2\displaystyle S_2의 부피의 값이 같아지는 α\displaystyle \alpha의 값을 구하고, 그 이유를 논하시오.

해설강의 준비중

성균관대 2016학년도 수시 자연계 2교시 수학1 · mathesis.kr/archive/skku/2016su/jayeongyo2_1

ⅰ · 삼각기둥의 부피를 계산할 수 있다.

[수학1 - ⅰ]α=1\displaystyle \alpha=1일 때, 입체도형 S1\displaystyle S_1은 삼각형 OAB\displaystyle \mathrm{OAB}를 밑면으로 하고 높이가 1\displaystyle 1인 삼각기둥이므로, 이 도형의 부피는 16\displaystyle \frac16이다.Correction. “삼각기둥”은 “삼각뿔”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

ⅱ · 정적분의 값을 올바르게 구할 수 있다.

[수학1 - ⅱ]삼각기둥 OADCBE\displaystyle \mathrm{OADCBE}의 부피는 12\displaystyle \frac12이므로, S1\displaystyle S_1의 부피는 그 절반인 14\displaystyle \frac14이다.직사각형 PQRS\displaystyle \mathrm{PQRS}의 밑변의 길이는 xα\displaystyle x^\alpha이고 높이는 1−x\displaystyle 1-x이므로, 넓이는 xα(1−x)\displaystyle x^\alpha(1-x)이다. 따라서 입체도형 S1\displaystyle S_1의 부피는 ∫01xα(1−x)dx\displaystyle \int_0^1x^\alpha(1-x)dx이다. 이 식에 <제시문2>를 적용하면, 입체도형 S1\displaystyle S_1의 부피는 1α+1−1α+2=1(α+1)(α+2)\displaystyle \frac1{\alpha+1}-\frac1{\alpha+2}=\frac1{(\alpha+1)(\alpha+2)}가 된다.

ⅱ · 방정식의 해를 구할 수 있다.

이 식의 값이 14\displaystyle \frac14이므로, 방정식 1(α+1)(α+2)=14\displaystyle \frac1{(\alpha+1)(\alpha+2)}=\frac14, 즉 α2+3α−2=0\displaystyle \alpha^2+3\alpha-2=0을 얻게 된다.따라서 α=−3+172\displaystyle \alpha=\frac{-3+\sqrt{17}}2이다.

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