자연계 2교시 수학1

[수학1 - ⅰ]$\displaystyle \alpha=1$일 때, 입체도형 $\displaystyle S_1$은 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$를 밑면으로 하고 높이가 $\displaystyle 1$인 삼각기둥이므로, 이 도형의 부피는 $\displaystyle \frac16$이다.Correction. “삼각기둥”은 “삼각뿔”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[수학1 - ⅱ]삼각기둥 $\displaystyle \mathrm{OADCBE}$의 부피는 $\displaystyle \frac12$이므로, $\displaystyle S_1$의 부피는 그 절반인 $\displaystyle \frac14$이다.직사각형 $\displaystyle \mathrm{PQRS}$의 밑변의 길이는 $\displaystyle x^\alpha$이고 높이는 $\displaystyle 1-x$이므로, 넓이는 $\displaystyle x^\alpha(1-x)$이다. 따라서 입체도형 $\displaystyle S_1$의 부피는 $\displaystyle \int_0^1x^\alpha(1-x)dx$이다. 이 식에 <제시문2>를 적용하면, 입체도형 $\displaystyle S_1$의 부피는 $\displaystyle \frac1{\alpha+1}-\frac1{\alpha+2}=\frac1{(\alpha+1)(\alpha+2)}$가 된다.

이 식의 값이 $\displaystyle \frac14$이므로, 방정식 $\displaystyle \frac1{(\alpha+1)(\alpha+2)}=\frac14$, 즉 $\displaystyle \alpha^2+3\alpha-2=0$을 얻게 된다.따라서 $\displaystyle \alpha=\frac{-3+\sqrt{17}}2$이다.