자연계 2교시 수학2

[수학2 - ⅰ]선분 $\displaystyle \mathrm{OP}_1$의 길이는 $\displaystyle \cos\left(\frac\pi4\right)=\frac{\sqrt2}2$이고 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $\displaystyle \frac\pi4$이므로, 점 $\displaystyle \mathrm{P}_1$의 좌표는 $\displaystyle \frac{\sqrt2}2\left(\cos\left(\frac\pi4\right),\sin\left(\frac\pi4\right)\right)=\left(\frac12,\frac12\right)$이다.

[수학2 - ⅱ]각 $\displaystyle \angle\mathrm{P}_{n-1}\mathrm{OP}_n$의 크기는 $\displaystyle \frac\pi{2^{n+1}}$이므로 각 $\displaystyle \angle\mathrm{P}_0\mathrm{OP}_n$의 크기는 $\displaystyle \pi\left(\frac14+\cdots+\frac1{2^{n+1}}\right)=\frac\pi2-\frac\pi{2^{n+1}}$이다. 따라서 선분 $\displaystyle \mathrm{OP}_n$이 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 $\displaystyle \frac\pi{2^{n+1}}$이다.또한 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_n}=\overline{\mathrm{OP}_{n-1}}\times\cos\left(\frac\pi{2^{n+1}}\right)$ 로부터 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_n}$의 값은 $\displaystyle \cos\left(\frac\pi4\right)\times\cdots\times\cos\left(\frac\pi{2^{n+1}}\right)$임을 얻는다. 이를 이용하여, 점 $\displaystyle \mathrm{P}_n$의 $\displaystyle y$좌표인 $\displaystyle y_n$의 값은 $\displaystyle \cos\left(\frac\pi4\right)\times\cdots\times\cos\left(\frac\pi{2^{n+1}}\right)\times\sin\left(\frac\pi{2^{n+1}}\right)$이 된다. 이 식에 삼각함수의 배각공식을 적용하면, $\displaystyle y_n=\frac1{2^n}$임을 얻게 된다.

따라서 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}y_n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{2^n}=2$이다.

[수학2 - ⅲ][수학2 - ⅱ]로부터 $\displaystyle x_n$의 값은 $\displaystyle \cos\left(\frac\pi4\right)\times\cdots\times\cos\left(\frac\pi{2^{n+1}}\right)\times\cos\left(\frac\pi{2^{n+1}}\right)$이다.양변을 $\displaystyle \sin\left(\frac\pi{2^{n+1}}\right)$로 곱하면, $\displaystyle x_n\times\sin\left(\frac\pi{2^{n+1}}\right)=\frac1{2^n}\cos\left(\frac\pi{2^{n+1}}\right)$이 된다.따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=\frac2\pi\times\lim_{n\to\infty}\frac{\pi/2^{n+1}}{\sin(\pi/2^{n+1})}\times\cos\left(\frac\pi{2^{n+1}}\right)$이 된다.<제시문2>를 이용하면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=\frac2\pi$을 얻는다.