자연계 1교시 수학1

성균관대 2018학년도 수시 자연계 1교시 수학1 · mathesis.kr/archive/skku/2018su/jayeongyo1_1

[수학1]다음 <제시문 1> ~ <제시문 3>을 읽고 [수학1-ⅰ] ~ [수학1-ⅲ]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

<제시문 1>오른쪽 그림과 같이 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}}=3$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{DC}}=2$ 인 직사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$ 내부에, 점 $\displaystyle \mathrm{D}$ 를 중심으로 하고 반지름이 $\displaystyle 2$ 인 사분원 $\displaystyle \mathrm{DGC}$ 가 놓여있다. 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 위의 한 점 $\displaystyle \mathrm{E}$ 에서 선분 $\displaystyle \mathrm{AD}$ 와 평행하게 그은 선분이 사분원 $\displaystyle \mathrm{DGC}$ 의 호와 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{F}$ 라 하자.

직사각형 ABCD 내부의 사분원 DGC와 E에서 F를 거쳐 C로 이동하는 경로

<제시문 2>성균이는 점 $\displaystyle \mathrm{E}$ 에서 출발하여 오른쪽 그림과 같이 화살표 방향으로 선분 $\displaystyle \mathrm{EF}$ 와 호 $\displaystyle \mathrm{FC}$ 를 거쳐 점 $\displaystyle \mathrm{C}$ 로 이동하고자 한다. 성균이는 선분 $\displaystyle \mathrm{EF}$ 위를 매초 $\displaystyle 1$ 의 속력으로 움직이고 호 $\displaystyle \mathrm{FC}$ 위를 매초 $\displaystyle 2$ 의 속력으로 이동한다. 성균이가 점 $\displaystyle \mathrm{E}$ 를 출발하여 제시된 경로를 따라 점 $\displaystyle \mathrm{C}$ 에 도달하는데 걸리는 시간을 $\displaystyle T$ (초)라 한다.

<제시문 3>함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌 구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이면 이 구간에서 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 최댓값과 최솟값을 가진다.

[수학1-ⅰ] 선분 $\displaystyle \mathrm{AE}$ 의 길이가 $\displaystyle \sqrt3$ 일 때 <제시문 2>의 $\displaystyle T$ 의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.

[수학1-ⅱ] <제시문 2>의 $\displaystyle T$ 의 값이 최소가 되는 선분 $\displaystyle \mathrm{AE}$ 의 길이를 구하고 그 이유를 논하시오.

[수학1-ⅲ] <제시문 2>의 $\displaystyle T$ 의 값이 최소가 될 때 도형 $\displaystyle \mathrm{AEFG}$ 와 도형 $\displaystyle \mathrm{EBCF}$ 의 넓이를 구하고 그 이유를 논하시오.

해설강의 준비중

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+5점 ·

\displaystyle T

의 값을 구할 수 있다.

[수학1-ⅰ]각 $\displaystyle \mathrm{FDC}$ 를 $\displaystyle x$ 라 두면, 문제의 조건에서 $\displaystyle \cos x=\sqrt3$ , 즉 $\displaystyle x=\frac\pi6$ Correction. $\displaystyle \cos x=\sqrt3$ 은 $\displaystyle \cos x=\sqrt3/2$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 $\displaystyle T=\frac21+\frac{2\cdot\pi/6}{2}=2+\frac\pi6.$

+8점 ·

\displaystyle T

의 식을 유도 할 수 있다.

[수학1-ⅱ]점 $\displaystyle \mathrm{F}$ 에서 선분 $\displaystyle \mathrm{DC}$ 에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{H}$ 라 하고, $\displaystyle \angle\mathrm{FDC}$ 를 $\displaystyle x$ $\displaystyle \left(0\le x\le\frac\pi2\right)$ 라 하자. $\displaystyle \begin{aligned}\text{선분 EF의 길이}&=\text{선분 EH의 길이}-\text{선분 FH의 길이}\\&=3-2\sin x,\end{aligned}$ 이고 호 $\displaystyle \mathrm{FC}$ 의 길이는 $\displaystyle 2x$ 이므로 $\displaystyle T=\frac{3-2\sin x}{1}+\frac{2x}{2}=3-2\sin x+x$

+5점 · 미분법을 활용하여

\displaystyle T

의 최솟값의 위치를 구할 수 있다.

$\displaystyle T^{\prime}(x)=1-2\cos x$ 이고, $\displaystyle T^{\prime}(x)=0$ 에서 $\displaystyle x=\frac\pi3$ 함수 $\displaystyle T$ 의 증감을 표로 나타내면

$x$	0	⋯	$\pi/3$	⋯	$\pi/2$
$T^{\prime}(x)$		−	0	+
$T(x)$		↘	$T(\pi/3)$	↗

+2점 ·

\displaystyle \overline{\mathrm{AE}}

의 길이를 구할 수 있다.

따라서 $\displaystyle T$ 는 $\displaystyle x=\pi/3$ 에서 최솟값을 가지고, 이때 선분 $\displaystyle \mathrm{AE}$ 의 길이는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AE}}=2\cos\frac\pi3=1.$

+5점 · 도형

\displaystyle \mathrm{EBCF}

의 넓이를 구할 수 있다.

[수학1-ⅲ][수학1-ⅱ]의 결과에 의해 $\displaystyle T$ 의 값이 최소가 될 때 $\displaystyle \angle\mathrm{FDC}=\frac\pi3$ 이므로 $\displaystyle \begin{aligned}\text{도형 FCH의 넓이}&=\text{부채꼴 DFC의 넓이}-\text{삼각형 DFH의 넓이}\\&=2\cdot\frac\pi3-\frac12\cdot1\cdot\sqrt3\\&=\frac{2\pi}3-\frac{\sqrt3}2\end{aligned}$ 이를 이용하면, $\displaystyle \begin{aligned}\text{도형 EBCF의 넓이}&=\text{직사각형 EBCH의 넓이}-\text{도형 FCH의 넓이}\\&=3-\frac{2\pi}3+\frac{\sqrt3}2,\end{aligned}$

+5점 · 도형

\displaystyle \mathrm{AEFG}

의 넓이를 구할 수 있다.

$\displaystyle \begin{aligned}\text{도형 AEFG의 넓이}&=\text{도형 ABCG의 넓이}-\text{도형 EBCF의 넓이}\\&=6-\pi-\left(3-\frac{2\pi}3+\frac{\sqrt3}2\right)\\&=3-\frac\pi3-\frac{\sqrt3}2.\end{aligned}$

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