자연계 1교시 수학1

[수학1-ⅰ]각 $\displaystyle \mathrm{FDC}$를 $\displaystyle x$라 두면, 문제의 조건에서$\displaystyle \cos x=\sqrt3$, 즉 $\displaystyle x=\frac\pi6$Correction. $\displaystyle \cos x=\sqrt3$은 $\displaystyle \cos x=\sqrt3/2$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서$\displaystyle T=\frac21+\frac{2\cdot\pi/6}{2}=2+\frac\pi6.$

[수학1-ⅱ]점 $\displaystyle \mathrm{F}$에서 선분 $\displaystyle \mathrm{DC}$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{H}$라 하고, $\displaystyle \angle\mathrm{FDC}$를 $\displaystyle x$ $\displaystyle \left(0\le x\le\frac\pi2\right)$라 하자.$\displaystyle \begin{aligned}\text{선분 EF의 길이}&=\text{선분 EH의 길이}-\text{선분 FH의 길이}\\&=3-2\sin x,\end{aligned}$이고 호 $\displaystyle \mathrm{FC}$의 길이는 $\displaystyle 2x$ 이므로$\displaystyle T=\frac{3-2\sin x}{1}+\frac{2x}{2}=3-2\sin x+x$

$\displaystyle T^{\prime}(x)=1-2\cos x$ 이고, $\displaystyle T^{\prime}(x)=0$에서 $\displaystyle x=\frac\pi3$함수 $\displaystyle T$의 증감을 표로 나타내면

따라서 $\displaystyle T$는 $\displaystyle x=\pi/3$에서 최솟값을 가지고, 이때 선분 $\displaystyle \mathrm{AE}$의 길이는$\displaystyle \overline{\mathrm{AE}}=2\cos\frac\pi3=1.$

[수학1-ⅲ][수학1-ⅱ]의 결과에 의해 $\displaystyle T$의 값이 최소가 될 때 $\displaystyle \angle\mathrm{FDC}=\frac\pi3$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\text{도형 FCH의 넓이}&=\text{부채꼴 DFC의 넓이}-\text{삼각형 DFH의 넓이}\\&=2\cdot\frac\pi3-\frac12\cdot1\cdot\sqrt3\\&=\frac{2\pi}3-\frac{\sqrt3}2\end{aligned}$이를 이용하면,$\displaystyle \begin{aligned}\text{도형 EBCF의 넓이}&=\text{직사각형 EBCH의 넓이}-\text{도형 FCH의 넓이}\\&=3-\frac{2\pi}3+\frac{\sqrt3}2,\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned}\text{도형 AEFG의 넓이}&=\text{도형 ABCG의 넓이}-\text{도형 EBCF의 넓이}\\&=6-\pi-\left(3-\frac{2\pi}3+\frac{\sqrt3}2\right)\\&=3-\frac\pi3-\frac{\sqrt3}2.\end{aligned}$