자연계 2교시 수학1

[수학 1-ⅰ]직선 $\displaystyle L$의 방정식: $\displaystyle y=mx-1$ 를 원 $\displaystyle C$와 연립하면$\displaystyle (m^2+1)x^2-2mx-3=0\qquad ----\ (*)$이 방정식의 두 해를 $\displaystyle \alpha,\beta$ (단, $\displaystyle \alpha<0$, $\displaystyle \beta>0$)라 하자.일반성을 잃지 않고 $\displaystyle \mathrm{R}(\alpha,m\alpha-1)$ $\displaystyle (\alpha<0)$, $\displaystyle \mathrm{S}(\beta,m\beta-1)$ $\displaystyle (\beta>0)$라 두면,$\displaystyle \overline{\mathrm{PR}}^2=\alpha^2+(m\alpha-1-2)^2=(m^2+1)\alpha^2-6m\alpha+18.$Correction. 제곱식을 전개한 상수항 $\displaystyle 18$은 $\displaystyle 9$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \overline{\mathrm{SD}}^2=\beta^2+(m\beta-1-2)^2=(m^2+1)\beta^2-6m\beta+18.$Correction. 제곱식을 전개한 상수항 $\displaystyle 18$은 $\displaystyle 9$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Correction. 선분 $\displaystyle SD$는 $\displaystyle SP$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \overline{\mathrm{RS}}^2=(\alpha-\beta)^2+\{m\alpha-1-(m\beta-1)\}^2=(m^2+1)(\alpha-\beta)^2.$$\displaystyle I=\overline{\mathrm{PR}}^2+\overline{\mathrm{RS}}^2+\overline{\mathrm{SD}}^2$ 라 두고 이를 대입하면Correction. 선분 $\displaystyle SD$는 $\displaystyle SP$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}I&=(m^2+1)(\alpha^2+\beta^2)-6m(\alpha+\beta)+18+(m^2+1)(\alpha-\beta)^2\\&=(m^2+1)\{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\}-6m(\alpha+\beta)+18+(m^2+1)\{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\}\end{aligned}$$\displaystyle (*)$로 부터$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{2m}{m^2+1},\qquad\alpha\beta=\frac{-3}{m^2+1}\qquad ----\ (\ast\ast)$가 성립하므로,$\displaystyle \begin{aligned}I&=(m^2+1)\left\{\left(\frac{2m}{m^2+1}\right)^2+\frac6{m^2+1}\right\}-6m\frac{2m}{m^2+1}+18+(m^2+1)\left\{\left(\frac{2m}{m^2+1}\right)^2+\frac{12}{m^2+1}\right\}\\&=32+\frac4{m^2+1}\end{aligned}$

양변을 미분하면$\displaystyle I^{\prime}(m)=\frac{-8m}{(m^2+1)^2}$따라서 $\displaystyle I^{\prime}(x)=0$에서 $\displaystyle m=0$을 얻고, 증감을 조사하면Correction. $\displaystyle I^{\prime}(x)=0$은 $\displaystyle I^{\prime}(m)=0$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[수학 1-ⅱ]삼각형 $\displaystyle \mathrm{PRS}$의 넓이의 넓이를 $\displaystyle A$라 하면,삼각형 $\displaystyle \mathrm{PRS}$의 넓이 = 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PRQ}$의 넓이 + 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQS}$의 넓이이므로$\displaystyle A=\frac12\cdot3\cdot(-\alpha)+\frac12\cdot3\cdot\beta=\frac32(\beta-\alpha).$그런데 [수학 1-ⅰ]의 $\displaystyle (\ast\ast)$로 부터$\displaystyle \beta-\alpha=\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}=\sqrt{\left(\frac{2m}{m^2+1}\right)^2+\frac{12}{m^2+1}}=\frac{2\sqrt{4m^2+3}}{m^2+1}$이므로$\displaystyle A(m)=\frac{3\sqrt{4m^2+3}}{m^2+1}.\qquad(-2\le m\le2)$

함수 $\displaystyle A(m)$에 자연 로그를 취하고$\displaystyle \ln A=\ln3+\frac12\ln(4m^2+3)-\ln(m^2+1)$양변을 미분하면$\displaystyle \frac{A^{\prime}}A=\frac{4m}{4m^2+3}-\frac{2m}{m^2+1}=\frac{-2m(2m^2+1)}{(4m^2+3)(m^2+1)}$따라서$\displaystyle A^{\prime}=\frac{-6m(2m^2+1)\sqrt{4m^2+3}}{(4m^2+3)(m^2+1)^2}$

$\displaystyle A^{\prime}(x)=0$에서 $\displaystyle m=0$을 얻고, 증감을 조사하면Correction. $\displaystyle A^{\prime}(x)=0$은 $\displaystyle A^{\prime}(m)=0$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.