자연계 2교시 수학2

성균관대 2018학년도 수시 자연계 2교시 수학2 · mathesis.kr/archive/skku/2018su/jayeongyo2_2

[수학2] 다음 <제시문1> ~ <제시문3>을 읽고 [수학 2 - ⅰ] ~ [수학 2 - ⅲ]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

<제시문 1>함수 $\displaystyle g(x)$ 가 실수 $\displaystyle a$ 를 포함하는 어떤 열린 구간에 속하는 모든 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle g(x)\le g(a)$ 를 만족하면 함수 $\displaystyle g(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극댓값을 가진다고 한다.

<제시문 2>함수 $\displaystyle g(x)$ 가 실수 $\displaystyle a$ 를 포함하는 어떤 열린 구간에 속하는 모든 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle g(x)\ge g(a)$ 를 만족하면 함수 $\displaystyle g(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극솟값을 가진다고 한다.

<제시문 3> $\displaystyle x_0,x_1,x_2,\cdots,x_{2018}$ 은 $\displaystyle x_0=0$ , $\displaystyle x_{2018}=100$ 과 $\displaystyle x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{2018}$ 을 만족하는 실수이다. 닫힌 구간 $\displaystyle [0,100]$ 에서 정의된 연속함수 $\displaystyle f(x)$ 는 다음을 만족한다.(1) $\displaystyle f(0)=\sqrt2$ , $\displaystyle f(100)=\sqrt3$ (2) $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=x_l$ $\displaystyle (l=1,3,5,\cdots,2017)$ 에서 극댓값을 가지고 $\displaystyle x=x_m$ $\displaystyle (m=2,4,6,\cdots,2016)$ 에서 극솟값을 가진다.(3) $\displaystyle 2018$ 이하의 임의의 자연수 $\displaystyle k$ 에 대하여 열린 구간 $\displaystyle (x_{k-1},x_k)$ 에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 는 연속이며 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2$ 또는 $\displaystyle f^{\prime}(x)=-3$ 이다.

[수학 2 - ⅰ] <제시문3>에서 추가적으로 $\displaystyle x_1=1$ , $\displaystyle x_{2017}=99$ 를 만족한다고 할 때 $\displaystyle f(x_1)$ 과 $\displaystyle f(x_{2017})$ 의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.

[수학 2 - ⅱ] <제시문3>에서 추가적으로 $\displaystyle x_{1008}=49$ , $\displaystyle x_{1010}=51$ , $\displaystyle f(x_{1008})=\sqrt5$ , $\displaystyle f(x_{1010})=\sqrt7$ 을 만족한다고 할 때 $\displaystyle x_{1009}$ 와 $\displaystyle f(x_{1009})$ 의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.

[수학 2 - ⅲ] <제시문3>에서 정의된 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle \sum_{n=0}^{2018}(-1)^nf(x_n)$ 의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.

해설강의 준비중

성균관대 2018학년도 수시 자연계 2교시 수학2 · mathesis.kr/archive/skku/2018su/jayeongyo2_2

+4점 · 함수의 개형을 파악하고 함수 값을 정확히 구한다.

[수학 2-ⅰ] $\displaystyle f(x)$ 는 구간 $\displaystyle (x_0,x_1)$ 에서 기울기 $\displaystyle 2$ 인 일차함수이고 구간 $\displaystyle (x_{2017},x_{2018})$ 에서 기울기 $\displaystyle -3$ 인 일차함수이다. 따라서 $\displaystyle f(x_1)=f(x_0)+2=\sqrt2+2$ , $\displaystyle f(x_{2017})=f(x_{2018})+3=\sqrt3+3$ 이다.

+6점 · 함수의 개형을 파악하고 함수 값을 정확히 구한다.

[수학 2-ⅱ] $\displaystyle f(x)$ 는 구간 $\displaystyle (x_{1008},x_{1009})$ 에서 기울기 $\displaystyle 2$ 인 일차함수이고 구간 $\displaystyle (x_{1009},x_{1010})$ 에서 기울기 $\displaystyle -3$ 인 일차함수이다. 따라서 $\displaystyle \frac{f(x_{1009})-f(x_{1008})}{x_{1009}-x_{1008}}=2$ , $\displaystyle \frac{f(x_{1010})-f(x_{1009})}{x_{1010}-x_{1009}}=-3$ 이다. 연립방정식에서 $\displaystyle x_{1009}$ 을 소거하면 $\displaystyle f(x_{1009})=\frac35f(x_{1008})+\frac25f(x_{1010})+\frac65(x_{1010}-x_{1008})$ 을 얻는다. 주어진 값을 넣으면 $\displaystyle f(x_{1009})=\frac{12+3\sqrt5+2\sqrt7}5$ 을 얻고 이를 통해 $\displaystyle x_{1009}=\frac{251-\sqrt5+\sqrt7}5$ 을 얻는다.

+10점 ·

\displaystyle f(x_{2m+1})

의 값을

\displaystyle f(x_{2m}),f(x_{2m+2}),x_{2m},x_{2m+2}

을 이용해 나타낸다.

[수학 2-ⅲ] $\displaystyle \sum$ 의 성질에 의해 $\displaystyle \sum_{n=0}^{2018}(-1)^nf(x_n)=\sum_{m=0}^{1009}f(x_{2m})-\sum_{m=0}^{1008}f(x_{2m+1})$ 로 나타낼 수 있다. [수학 2-ⅱ]의 문제 해결 과정에서 $\displaystyle f(x_{1009})=\frac35f(x_{1008})+\frac25f(x_{1010})+\frac65(x_{1010}-x_{1008})$ 이므로 $\displaystyle 0\le m\le1008$ 을 만족하는 임의의 정수 $\displaystyle m$ 에 대하여 $\displaystyle f(x_{2m+1})=\frac35f(x_{2m})+\frac25f(x_{2m+2})+\frac65(x_{2m+2}-x_{2m})$ 로 나타낼 수 있다. 따라서 $\displaystyle \sum$ 의 성질에 의해 $\displaystyle \begin{aligned}\sum_{m=0}^{1008}f(x_{2m+1})&=\sum_{m=0}^{1008}\left(\frac35f(x_{2m})+\frac25f(x_{2m+2})+\frac65(x_{2m+2}-x_{2m})\right)\\&=\sum_{m=0}^{1009}f(x_{2m})-\frac25f(x_0)-\frac35f(x_{2018})-\frac65x_0+\frac65x_{2018}\end{aligned}$ 이므로

+10점 · 수열의 합을 구한다.

$\displaystyle \sum_{n=0}^{2018}(-1)^nf(x_n)=\sum_{m=0}^{1009}f(x_{2m})-\sum_{m=0}^{1008}f(x_{2m+1})=\frac25\sqrt2+\frac35\sqrt3-120$ 을 얻는다.

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