자연계 2교시 수학2

[수학 2-ⅰ]$\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle (x_0,x_1)$에서 기울기 $\displaystyle 2$인 일차함수이고 구간 $\displaystyle (x_{2017},x_{2018})$에서 기울기 $\displaystyle -3$인 일차함수이다. 따라서 $\displaystyle f(x_1)=f(x_0)+2=\sqrt2+2$, $\displaystyle f(x_{2017})=f(x_{2018})+3=\sqrt3+3$이다.

[수학 2-ⅱ]$\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle (x_{1008},x_{1009})$에서 기울기 $\displaystyle 2$인 일차함수이고 구간 $\displaystyle (x_{1009},x_{1010})$에서 기울기 $\displaystyle -3$인 일차함수이다. 따라서 $\displaystyle \frac{f(x_{1009})-f(x_{1008})}{x_{1009}-x_{1008}}=2$, $\displaystyle \frac{f(x_{1010})-f(x_{1009})}{x_{1010}-x_{1009}}=-3$이다. 연립방정식에서 $\displaystyle x_{1009}$을 소거하면 $\displaystyle f(x_{1009})=\frac35f(x_{1008})+\frac25f(x_{1010})+\frac65(x_{1010}-x_{1008})$을 얻는다. 주어진 값을 넣으면 $\displaystyle f(x_{1009})=\frac{12+3\sqrt5+2\sqrt7}5$을 얻고 이를 통해 $\displaystyle x_{1009}=\frac{251-\sqrt5+\sqrt7}5$을 얻는다.

[수학 2-ⅲ]$\displaystyle \sum$의 성질에 의해 $\displaystyle \sum_{n=0}^{2018}(-1)^nf(x_n)=\sum_{m=0}^{1009}f(x_{2m})-\sum_{m=0}^{1008}f(x_{2m+1})$로 나타낼 수 있다. [수학 2-ⅱ]의 문제 해결 과정에서 $\displaystyle f(x_{1009})=\frac35f(x_{1008})+\frac15f(x_{1010})+\frac65(x_{1010}-x_{1008})$이므로 $\displaystyle 0\le m\le1008$을 만족하는 임의의 정수 $\displaystyle m$에 대하여 $\displaystyle f(x_{2m+1})=\frac35f(x_{2m})+\frac25f(x_{2m+2})+\frac65(x_{2m+2}-x_{2m})$로 나타낼 수 있다. 따라서 $\displaystyle \sum$의 성질에 의해Correction. $\displaystyle f(x_{1010})$의 계수 $\displaystyle 1/5$는 $\displaystyle 2/5$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{m=0}^{1008}f(x_{2m+1})&=\sum_{m=0}^{1008}\left(\frac35f(x_{2m})+\frac25f(x_{2m+2})+\frac65(x_{2m+2}-x_{2m})\right)\\&=\sum_{m=0}^{1009}f(x_{2m})-\frac25f(x_0)-\frac35f(x_{2018})-\frac65x_0+\frac65x_{2018}\end{aligned}$이므로

$\displaystyle \sum_{n=0}^{2018}(-1)^nf(x_n)=\sum_{m=0}^{1009}f(x_{2m})-\sum_{m=0}^{1008}f(x_{2m+1})=\frac25\sqrt2+\frac35\sqrt3-120$을 얻는다.