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자연계 1교시 수학2

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성균관대 2018학년도 수시 자연계 1교시 수학2 · mathesis.kr/archive/skku/2018su/jayeongyo1_2

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[수학2]다음 <제시문1> ~ <제시문4>를 읽고 [수학2-ⅰ] ~ [수학2-ⅳ]를 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

<제시문 1>사건 A,B\displaystyle A,B에 대하여 사건 B\displaystyle B가 일어났을 때, 사건 A\displaystyle A가 일어날 확률을 사건 B\displaystyle B가 일어났을 때의 사건 A\displaystyle A의 조건부확률이라 하고, 기호로 P(A∣B)\displaystyle P(A|B)와 같이 나타낸다. 사건 B\displaystyle B가 일어났을 때의 사건 A\displaystyle A의 조건부확률은 P(A∣B)=P(A∩B)P(B)\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} (단, P(B)≠0\displaystyle P(B)\ne0)을 만족한다.

<제시문 2>어떤 사건 A\displaystyle A에 대하여 A\displaystyle A가 일어나지 않는 사건을 A\displaystyle A의 여사건이라 하고, 기호로 AC\displaystyle A^C와 같이 나타낸다. 두 사건 A\displaystyle A와 B\displaystyle B에 대하여 P(B)=P(A∩B)+P(AC∩B)\displaystyle P(B)=P(A\cap B)+P(A^C\cap B)가 항상 성립한다.

<제시문 3>g(n)\displaystyle g(n)과 h(n)\displaystyle h(n)이 n\displaystyle n에 대한 다항식일 때, g(n)h(n)\displaystyle \frac{g(n)}{h(n)}을 n\displaystyle n에 대한 유리식이라 한다. (단, h(n)≠0\displaystyle h(n)\ne0.)

<제시문 4>자연수 n\displaystyle n에 대하여 그림과 같이 <상자1>에는 1\displaystyle 1부터 6n\displaystyle 6n까지의 자연수가 적힌 6n\displaystyle 6n장의 카드가 있고 <상자2>에는 2\displaystyle 2부터 6n\displaystyle 6n까지의 짝수가 적힌 3n\displaystyle 3n장의 카드가 있다.

상자1에는 1, 2, 3, …, 6n 카드, 상자2에는 2, 4, 6, …, 6n 카드

[수학2-ⅰ] <제시문4>의 <상자1>에서 임의로 뽑은 두 카드에 적힌 수의 합이 짝수일 확률을 n\displaystyle n에 대한 유리식으로 나타내고 그 이유를 논하시오. (단, 뽑는 순서는 고려하지 않는다.)

[수학2-ⅱ] <제시문4>의 <상자1>에서 임의로 뽑은 두 카드에 적힌 수의 곱이 6\displaystyle 6의 배수일 확률을 n\displaystyle n에 대한 유리식으로 나타내고 그 이유를 논하시오. (단, 뽑는 순서는 고려하지 않는다.)

[수학2-ⅲ] <제시문4>의 <상자1>에서 임의로 뽑은 두 카드에 적힌 수의 곱이 6\displaystyle 6의 배수일 때, 이 두 수의 합이 짝수일 확률을 n\displaystyle n에 대한 유리식으로 나타내고 그 이유를 논하시오. (단, 뽑는 순서는 고려하지 않는다.)

[수학2-ⅳ] <제시문4>의 <상자1>과 <상자2> 중 임의로 한 상자를 골라 그 안에서 임의로 뽑은 두 카드에 적힌 수를 곱했더니 6\displaystyle 6의 배수가 되었다. 이 때 카드를 뽑은 상자가 <상자1>일 확률을 f(n)\displaystyle f(n)이라 했을 때 lim⁡n→∞f(n)\displaystyle \lim_{n\to\infty}f(n)의 값을 구하고 그 이유를 논하시오. (단, 뽑는 순서는 고려하지 않는다.)

해설강의 준비중

성균관대 2018학년도 수시 자연계 1교시 수학2 · mathesis.kr/archive/skku/2018su/jayeongyo1_2

+5점 · 경우의 수를 이용해 확률을 구한다.

[2-ⅰ]두 수의 합이 짝수이려면 두 수가 모두 짝수이거나 모두 홀수이어야 한다. 짝수와 홀수는 각각 3n\displaystyle 3n개가 있으므로 두 수가 모두 짝수 또는 모두 홀수인 경우의 수는 3nC2+3nC2\displaystyle {}_{3n}\mathrm{C}_2+{}_{3n}\mathrm{C}_2이다. 따라서 확률은 3nC2+3nC26nC2=3n−16n−1\displaystyle \frac{{}_{3n}\mathrm{C}_2+{}_{3n}\mathrm{C}_2}{{}_{6n}\mathrm{C}_2}=\frac{3n-1}{6n-1}이다.

+5점 · 경우의 수를 이용해 확률을 구한다.

[2-ⅱ]두 수의 곱이 6\displaystyle 6의 배수이려면 적어도 하나가 6\displaystyle 6의 배수이거나, 둘 다 6\displaystyle 6의 배수가 아니고 하나는 2\displaystyle 2의 배수이며 다른 하나는 3\displaystyle 3의 배수가 되어야 한다. 첫 번째 사건의 경우의 수는 6nC2−5nC2\displaystyle {}_{6n}\mathrm{C}_2-{}_{5n}\mathrm{C}_2이고 두 번째 사건의 경우의 수는 (3n−n)(2n−n)=2n2\displaystyle (3n-n)(2n-n)=2n^2이다 따라서 확률은 6nC2−5nC2+2n26nC2=15n−136n−6\displaystyle \frac{{}_{6n}\mathrm{C}_2-{}_{5n}\mathrm{C}_2+2n^2}{{}_{6n}\mathrm{C}_2}=\frac{15n-1}{36n-6}이다.

+5점 · 두 수의 곱이 6\displaystyle 6의 배수이고 합이 짝수일 확률을 구한다.

[2-ⅲ]두 수의 곱이 6\displaystyle 6의 배수인 사건을 A\displaystyle A라 하고 두 수의 합이 짝수인 사건을 B\displaystyle B라 하자. 그러면 A∩B\displaystyle A\cap B는 두 수가 모두 짝수이며 적어도 하나가 3\displaystyle 3의 배수인 사건과 같다. 이러한 사건의 경우의 수는 3nC2−2nC2\displaystyle {}_{3n}\mathrm{C}_2-{}_{2n}\mathrm{C}_2이므로 P(A∩B)=3nC2−2nC26nC2=5n−136n−6\displaystyle P(A\cap B)=\frac{{}_{3n}\mathrm{C}_2-{}_{2n}\mathrm{C}_2}{{}_{6n}\mathrm{C}_2}=\frac{5n-1}{36n-6}이다.

+5점 · 조건부확률을 구한다.

[2-ⅱ]에서 P(A)=15n−136n−6\displaystyle P(A)=\frac{15n-1}{36n-6}이므로 답은 P(B∣A)=P(A∩B)P(A)=5n−115n−1\displaystyle P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{5n-1}{15n-1}이 된다.

+5점 · <상자2>를 고르고 두 수의 곱이 6\displaystyle 6의 배수일 확률을 구한다.

[2-ⅳ]<상자1>을 고르는 사건을 X\displaystyle X라 하고 임의로 고른 상자에서 뽑은 두 카드에 적힌 수의 곱이 6\displaystyle 6의 배수인 사건을 Y\displaystyle Y라 하자. 그러면 P(X∣Y)=P(X∩Y)P(Y)=P(X∩Y)P(X∩Y)+P(XC∩Y)\displaystyle P(X|Y)=\frac{P(X\cap Y)}{P(Y)}=\frac{P(X\cap Y)}{P(X\cap Y)+P(X^C\cap Y)}을 만족한다. [2-ⅱ]로부터 P(X∩Y)=12⋅15n−136n−6=15n−172n−12\displaystyle P(X\cap Y)=\frac12\cdot\frac{15n-1}{36n-6}=\frac{15n-1}{72n-12}을 얻는다. <상자2>에서 뽑은 카드에 적힌 두 수의 곱이 6\displaystyle 6의 배수이려면 적어도 하나가 3\displaystyle 3의 배수이면 된다. 따라서 P(XC∩Y)=12⋅3nC2−2nC23nC2=5n−118n−6\displaystyle P(X^C\cap Y)=\frac12\cdot\frac{{}_{3n}\mathrm{C}_2-{}_{2n}\mathrm{C}_2}{{}_{3n}\mathrm{C}_2}=\frac{5n-1}{18n-6}이고

+5점 · 조건부확률의 극한값을 구한다.

f(n)=15n−172n−1215n−172n−12+5n−118n−6\displaystyle f(n)=\frac{\frac{15n-1}{72n-12}}{\frac{15n-1}{72n-12}+\frac{5n-1}{18n-6}}이므로 lim⁡n→∞f(n)=15721572+518=37\displaystyle \lim_{n\to\infty}f(n)=\frac{\frac{15}{72}}{\frac{15}{72}+\frac5{18}}=\frac37을 얻는다.

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