자연계 1교시 수학2

[2-ⅰ]두 수의 합이 짝수이려면 두 수가 모두 짝수이거나 모두 홀수이어야 한다. 짝수와 홀수는 각각 $\displaystyle 3n$개가 있으므로 두 수가 모두 짝수 또는 모두 홀수인 경우의 수는 $\displaystyle {}_{3n}\mathrm{C}_2+{}_{3n}\mathrm{C}_2$이다. 따라서 확률은 $\displaystyle \frac{{}_{3n}\mathrm{C}_2+{}_{3n}\mathrm{C}_2}{{}_{6n}\mathrm{C}_2}=\frac{3n-1}{6n-1}$이다.

[2-ⅱ]두 수의 곱이 $\displaystyle 6$의 배수이려면 적어도 하나가 $\displaystyle 6$의 배수이거나, 둘 다 $\displaystyle 6$의 배수가 아니고 하나는 $\displaystyle 2$의 배수이며 다른 하나는 $\displaystyle 3$의 배수가 되어야 한다. 첫 번째 사건의 경우의 수는 $\displaystyle {}_{6n}\mathrm{C}_2-{}_{5n}\mathrm{C}_2$이고 두 번째 사건의 경우의 수는 $\displaystyle (3n-n)(2n-n)=2n^2$이다 따라서 확률은 $\displaystyle \frac{{}_{6n}\mathrm{C}_2-{}_{5n}\mathrm{C}_2+2n^2}{{}_{6n}\mathrm{C}_2}=\frac{15n-1}{36n-6}$이다.

[2-ⅲ]두 수의 곱이 $\displaystyle 6$의 배수인 사건을 $\displaystyle A$라 하고 두 수의 합이 짝수인 사건을 $\displaystyle B$라 하자. 그러면 $\displaystyle A\cap B$는 두 수가 모두 짝수이며 적어도 하나가 $\displaystyle 3$의 배수인 사건과 같다. 이러한 사건의 경우의 수는 $\displaystyle {}_{3n}\mathrm{C}_2-{}_{2n}\mathrm{C}_2$이므로 $\displaystyle P(A\cap B)=\frac{{}_{3n}\mathrm{C}_2-{}_{2n}\mathrm{C}_2}{{}_{6n}\mathrm{C}_2}=\frac{5n-1}{36n-6}$이다. [2-ⅱ]에서 $\displaystyle P(A)=\frac{15n-1}{36n-6}$이므로 답은 $\displaystyle P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{5n-1}{15n-1}$이 된다.

[2-ⅳ]<상자1>을 고르는 사건을 $\displaystyle X$라 하고 임의로 고른 상자에서 뽑은 두 카드에 적힌 수의 곱이 $\displaystyle 6$의 배수인 사건을 $\displaystyle Y$라 하자. 그러면 $\displaystyle P(X|Y)=\frac{P(X\cap Y)}{P(Y)}=\frac{P(X\cap Y)}{P(X\cap Y)+P(X^C\cap Y)}$을 만족한다. [2-ⅱ]로부터 $\displaystyle P(X\cap Y)=\frac12\cdot\frac{15n-1}{36n-6}=\frac{15n-1}{72n-12}$을 얻는다. <상자2>에서 뽑은 카드에 적힌 두 수의 곱이 $\displaystyle 6$의 배수이려면 적어도 하나가 $\displaystyle 3$의 배수이면 된다. 따라서 $\displaystyle P(X^C\cap Y)=\frac12\cdot\frac{{}_{3n}\mathrm{C}_2-{}_{2n}\mathrm{C}_2}{{}_{3n}\mathrm{C}_2}=\frac{5n-1}{18n-6}$이고 $\displaystyle f(n)=\frac{\frac{15n-1}{72n-12}}{\frac{15n-1}{72n-12}+\frac{5n-1}{18n-6}}$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}f(n)=\frac{\frac{15}{72}}{\frac{15}{72}+\frac5{18}}=\frac37$을 얻는다.