자연계 1교시 수학1

[수학1-ⅰ]$\displaystyle f(0)=a_4$이므로, 숫자 $\displaystyle 4$가 정확히 두 번 선택되어질 확률을 구하면 된다.총 열 번의 주사위 던짐에서 숫자 $\displaystyle 4$가 선택되어질 두 번의 횟수차를 선택하는 방법이 $\displaystyle {}_{10}\mathrm{C}_2=45$이고 나머지 여덟 번의 횟수차에는 $\displaystyle 1,2,3$의 숫자 중 어느 것이 선택되어도 되므로, 확률은 다음과 같다.$\displaystyle 45\left(\frac14\right)^2\left(\frac34\right)^8=5\left(\frac34\right)^{10}$

[수학1-ⅱ]먼저 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프가 직선인 경우는 항상 $\displaystyle 3$혹은 $\displaystyle 4$가 선택되는 경우이므로, 그 확률은 $\displaystyle \left(\frac24\right)^{10}=\left(\frac12\right)^{10}$이다. 따라서, $\displaystyle y=f(x)$의 그래프가 직선이 아닐 확률은 $\displaystyle 1-\frac{1}{2^{10}}$이다.

이제 $\displaystyle f^{\prime}(2)=12a_1+4a_2+a_3\ge100$을 만족하면서 $\displaystyle a_1+a_2+a_3+a_4=10$인 음이 아닌 정수 $\displaystyle a_1,a_2,a_3$를 찾아보자. 먼저 $\displaystyle a_1\le7$이라면 $\displaystyle 12a_1+4a_2+a_3\le12\times7+4\times3=96$이 되어, 항상 $\displaystyle a_1\ge8$임을 알 수 있다. 따라서, $\displaystyle a_1$이 될 수 있는 숫자는 $\displaystyle 8,9,10$ 세 가지 밖에 없으며, 각각의 경우에 가능한 숫자 $\displaystyle a_2,a_3,a_4$를 구해보면 다음의 일곱 가지 경우가 나온다.$\displaystyle \begin{aligned}(a_1,a_2,a_3,a_4)={}&(10,0,0,0),(9,1,0,0),(9,0,1,0),(9,0,0,1),\\&(8,2,0,0),(8,1,1,0),(8,1,0,1)\end{aligned}$여기서 어떠한 경우에도 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프가 직선이 아니다.

$\displaystyle (a_1,a_2,a_3,a_4)=(10,0,0,0)$인 경우의 확률은 $\displaystyle \left(\frac14\right)^{10}$이다.

$\displaystyle (a_1,a_2,a_3,a_4)=(9,1,0,0),(9,0,1,0),(9,0,0,1)$인 경우 각각의 확률은 $\displaystyle {}_{10}\mathrm{C}_1\left(\frac14\right)^{10}=10\left(\frac14\right)^{10}$이다.

$\displaystyle (a_1,a_2,a_3,a_4)=(8,2,0,0)$인 경우의 확률은 $\displaystyle {}_{10}\mathrm{C}_2\left(\frac14\right)^{10}=45\left(\frac14\right)^{10}$이다.

$\displaystyle (a_1,a_2,a_3,a_4)=(8,1,1,0),(8,1,0,1)$인 경우 각각의 확률은 $\displaystyle {}_{10}\mathrm{P}_2\left(\frac14\right)^{10}=90\left(\frac14\right)^{10}$이다.따라서, $\displaystyle y=f(x)$의 그래프가 직선이 아니면서 $\displaystyle f^{\prime}(2)\ge100$을 만족할 확률은 다음과 같다.$\displaystyle (1+3\times10+45+2\times90)\left(\frac14\right)^{10}=256\times\left(\frac14\right)^{10}=\left(\frac14\right)^6$

따라서 문제의 확률은 $\displaystyle \frac{\left(\frac14\right)^6}{1-\frac{1}{2^{10}}}=\frac{1}{4(2^{10}-1)}=\frac{1}{4092}$이다.

[수학1-ⅲ]함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=8$이 만나지 않을 확률을 먼저 구하자.$\displaystyle 3$차 다항식의 그래프는 항상 $\displaystyle x$축과 평행한 직선과 만나므로, $\displaystyle a_1=0$이어야 한다.

만약 $\displaystyle a_2=0$이라면, 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프는 직선이 되고 이 직선이 직선 $\displaystyle y=8$과 만나지 않으려면 $\displaystyle (a_3,a_4)=(0,10)$이어야 한다. 이 경우의 확률은 $\displaystyle \left(\frac14\right)^{10}$이다.

만약 $\displaystyle a_2\ge1$이라면, 이차방정식 $\displaystyle a_2x^2+a_3x+a_4-8=0$의 해가 존재하지 않는 경우를 찾는 것이고, 이는 곧 $\displaystyle a_3^2<4a_2(a_4-8)$임을 의미한다. 이를 만족하는 숫자 $\displaystyle a_2,a_3,a_4$는 $\displaystyle (a_2,a_3,a_4)=(1,0,9)$이며, 이 경우의 확률은 $\displaystyle {}_{10}\mathrm{C}_1\left(\frac14\right)^{10}$이다.

따라서 문제에서 구하고자 하는 확률은 $\displaystyle 1-(1+10)\left(\frac14\right)^{10}=1-11\left(\frac14\right)^{10}$이다.