자연계 2교시 수학2

[수학2-ⅰ]$\displaystyle \begin{aligned}a_n&=\int_0^1(f(nx)-f(nx-1))dx=\int_0^1f(nx)dx-\int_0^{1/n}f(nx-1)dx-\int_{1/n}^1f(nx-1)dx\\&=\int_0^1\sqrt{nx}\,dx+\int_0^{1/n}\sqrt{1-nx}\,dx-\int_{1/n}^1\sqrt{nx-1}\,dx\\&=\Biggl[\frac{2}{3n}(nx)^{\frac32}\Biggr]_0^1+\Biggl[-\frac{2}{3n}(1-nx)^{\frac32}\Biggr]_0^{1/n}-\Biggl[\frac{2}{3n}(nx-1)^{\frac32}\Biggr]_0^{1/n}\\&=\frac23\sqrt n-\frac{2}{3n}(n-1)\sqrt{n-1}+\frac{2}{3n}\end{aligned}$Correction. 마지막 대괄호의 대입 구간은 $\displaystyle 0$부터 $\displaystyle 1/n$까지가 아니라 $\displaystyle 1/n$부터 $\displaystyle 1$까지이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서$\displaystyle \begin{aligned}a_n\sqrt{n^r}&=\left(\frac23\frac{n\sqrt n-(n-1)\sqrt{n-1}+1}{n}\right)\sqrt{n^r}=\frac23\left(\sqrt n-\left(1-\frac1n\right)\sqrt{n-1}+\frac1n\right)\sqrt{n^r}\\&=\frac23\left(\sqrt n-\sqrt{n-1}+\frac1n\sqrt{n-1}+\frac1n\right)\sqrt{n^r}=\frac23\left(\frac1{\sqrt n+\sqrt{n-1}}+\frac1n\sqrt{n-1}+\frac1n\right)\sqrt{n^r}\\&=\frac23\left(\frac{\sqrt{n^r}}{\sqrt n+\sqrt{n-1}}+\frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n^{2-r}}}+\frac1{\sqrt{n^{2-r}}}\right)\end{aligned}$

이므로 $\displaystyle r=1$인 경우에 수렴하게 되고, 그 때 극한값은 $\displaystyle 1$이 된다.

[수학2-ⅱ]$\displaystyle x>2n$인 경우, $\displaystyle g(x)=\sqrt{x-2n}-\sqrt{x-n}+\sqrt n$이므로,$\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac1{2\sqrt{x-2n}}-\frac1{2\sqrt{x-n}}>0$이 되어, 이 구간에서 함수 $\displaystyle g(x)$는 증가하게 된다.$\displaystyle \frac{3n}{2}<x<2n$인 경우, $\displaystyle g(x)=-\sqrt{2n-x}-\sqrt{x-n}+\sqrt n$이므로,$\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac1{2\sqrt{2n-x}}-\frac1{2\sqrt{x-n}}>0$이 되어, 이 구간에서 함수 $\displaystyle g(x)$는 증가하게 된다.$\displaystyle n<x<\frac{3n}{2}$인 경우, $\displaystyle g(x)=-\sqrt{2n-x}-\sqrt{x-n}+\sqrt n$이므로,$\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac1{2\sqrt{2n-x}}-\frac1{2\sqrt{x-n}}<0$이 되어, 이 구간에서 함수 $\displaystyle g(x)$는 감소하게 된다.$\displaystyle x<n$인 경우, $\displaystyle g(x)=-\sqrt{2n-x}+\sqrt{n-x}+\sqrt n$이므로,$\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac1{2\sqrt{2n-x}}-\frac1{2\sqrt{n-x}}<0$이 되어, 이 구간에서 함수 $\displaystyle g(x)$는 감소하게 된다.또한, $\displaystyle \lim_{x\to2n}g^{\prime}(x)=\infty$이고, $\displaystyle \lim_{x\to n}g^{\prime}(x)=-\infty$, $\displaystyle g^{\prime}\left(\frac{3n}{2}\right)=0$이므로, 이를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x<\frac{3n}{2}$일 때 감소하고, $\displaystyle x>\frac{3n}{2}$일 때 증가하게 되므로 $\displaystyle x=\frac{3n}{2}$일 때, 최솟값 $\displaystyle g(3n/2)=-\sqrt{2n}+\sqrt n$을 갖게 된다.

[수학2-ⅲ]$\displaystyle \begin{aligned}b_n&=-\int_n^{2n}g(x)dx=-\int_n^{2n}(-\sqrt{2n-x}-\sqrt{x-n}+\sqrt n)dx\\&=-\Biggl[\frac23(2n-x)^{\frac32}-\frac23(x-n)^{\frac32}+\sqrt n x\Biggr]_n^{2n}=\frac43n^{\frac32}-n^{\frac32}=\frac13n^{\frac32}\end{aligned}$이므로, $\displaystyle s\ge\frac32$일 때, 수열 $\displaystyle \left\{\frac{b_n}{n^s}\right\}$는 수렴하게 된다. $\displaystyle s=\frac32$일 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{n^s}=\frac13$이 되고, $\displaystyle s>\frac32$일 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{n^s}=0$이 된다.