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자연계 1교시 수학2

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성균관대 2020학년도 수시 자연계 1교시 수학2 · mathesis.kr/archive/skku/2020su/jayeongyo1_2

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[수학2]다음 <제시문1> ~ <제시문3>을 읽고 [수학2-ⅰ] ~ [수학2-ⅲ]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

<제시문1>함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)가 x=a\displaystyle x=a에서 미분가능하면 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 연속이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.

<제시문2>함수 f(x)\displaystyle f(x)가 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고 함수 F(x)\displaystyle F(x)가 f(x)\displaystyle f(x)의 한 부정적분일 때 다음이 성립한다.∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\displaystyle \int_a^bf(x)dx=\Biggl[F(x)\Biggr]_a^b=F(b)-F(a)

<제시문3>양의 정수 n\displaystyle n에 대하여, 닫힌 구간 [nπ,(n+1)π]\displaystyle [n\pi,(n+1)\pi]에서 함수 y=g(x)\displaystyle y=g(x)는 다음을 만족한다.g(x)=2nancos⁡(x−nπ)+(bn+(−1)n)sin⁡(x−nπ)\displaystyle g(x)=2^na_n\cos(x-n\pi)+(b_n+(-1)^n)\sin(x-n\pi)　(단, an\displaystyle a_n과 bn\displaystyle b_n은 실수)함수 y=g(x)\displaystyle y=g(x)는 구간 (π,∞)\displaystyle (\pi,\infty)에서 미분가능하며, ∫π2πg(x)dx=−6\displaystyle \int_\pi^{2\pi}g(x)dx=-6과 ∫π5π2g(x)dx=−2\displaystyle \int_\pi^{\frac{5\pi}{2}}g(x)dx=-2를 만족한다.

[수학2-ⅰ] <제시문3>의 함수 y=g(x)\displaystyle y=g(x)에 대하여, 상수 b1\displaystyle b_1의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.

[수학2-ⅱ] <제시문3>의 함수 y=g(x)\displaystyle y=g(x)에 대하여, 정적분 ∫π100πg(x)dx\displaystyle \int_\pi^{100\pi}g(x)dx의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.

[수학2-ⅲ] <제시문3>의 함수 y=g(x)\displaystyle y=g(x)에 대하여, 정적분 ∫π199π2g(x)dx\displaystyle \int_\pi^{\frac{199\pi}{2}}g(x)dx의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.

해설강의 준비중

성균관대 2020학년도 수시 자연계 1교시 수학2 · mathesis.kr/archive/skku/2020su/jayeongyo1_2

+5점 · 삼각함수의 정적분 값을 올바르게 유도할 수 있다.

[수학2-ⅰ]조건 ∫π2πg(x)dx=−6\displaystyle \int_\pi^{2\pi}g(x)dx=-6으로부터,−6=∫π2π(2a1cos⁡(x−π)+(b1−1)sin⁡(x−π))dx=2(b1−1)\displaystyle -6=\int_\pi^{2\pi}(2a_1\cos(x-\pi)+(b_1-1)\sin(x-\pi))dx=2(b_1-1)을 얻게 된다.따라서 b1=−2\displaystyle b_1=-2이다.

+5점 · 미분가능한 함수의 성질을 이용할 수 있다.

[수학2-ⅱ]양의 정수 n\displaystyle n에 대하여 닫힌 구간 [nπ,(n+1)π]\displaystyle [n\pi,(n+1)\pi]에서g(x)=2nancos⁡(x−nπ)+(bn+(−1)n)sin⁡(x−nπ)\displaystyle g(x)=2^na_n\cos(x-n\pi)+(b_n+(-1)^n)\sin(x-n\pi)이므로,g′(x)=−2nansin⁡(x−nπ)+(bn+(−1)n)cos⁡(x−nπ)\displaystyle g^{\prime}(x)=-2^na_n\sin(x-n\pi)+(b_n+(-1)^n)\cos(x-n\pi)을 얻게 된다. 따라서, g′(nπ)=bn+(−1)n\displaystyle g^{\prime}(n\pi)=b_n+(-1)^n임을 알 수 있다.한편, 2\displaystyle 2 이상인 정수 n\displaystyle n에 대하여 닫힌 구간 [(n−1)π,nπ]\displaystyle [(n-1)\pi,n\pi]에서g(x)=2n−1an−1cos⁡(x−(n−1)π)+(bn−1+(−1)n−1)sin⁡(x−(n−1)π)\displaystyle g(x)=2^{n-1}a_{n-1}\cos(x-(n-1)\pi)+(b_{n-1}+(-1)^{n-1})\sin(x-(n-1)\pi)이고, g′(x)=−2n−1an−1sin⁡(x−(n−1)π)+(bn−1+(−1)n−1)cos⁡(x−(n−1)π)\displaystyle g^{\prime}(x)=-2^{n-1}a_{n-1}\sin(x-(n-1)\pi)+(b_{n-1}+(-1)^{n-1})\cos(x-(n-1)\pi)이 되어,g′(nπ)=−(bn−1+(−1)n−1)\displaystyle g^{\prime}(n\pi)=-(b_{n-1}+(-1)^{n-1})이 됨을 알 수 있다.따라서, bn+(−1)n=−(bn−1+(−1)n−1)\displaystyle b_n+(-1)^n=-(b_{n-1}+(-1)^{n-1})이 되고, bn=−bn−1\displaystyle b_n=-b_{n-1}이다. b1=−2\displaystyle b_1=-2로부터 bn=2(−1)n\displaystyle b_n=2(-1)^n임을 알 수 있다.

+5점 · 정적분의 성질을 활용하여 정적분 값을 유도할 수 있다.

이제 정적분 ∫π100πg(x)dx\displaystyle \int_\pi^{100\pi}g(x)dx의 값은∫π100πg(x)dx=∑n=199∫nπ(n+1)πg(x)dx=∑n=199[2nansin⁡(x−nπ)−(bn+(−1)n)cos⁡(x−nπ)]nπ(n+1)π=∑n=1992(bn+(−1)n)=6∑n=199(−1)n=−6\displaystyle \begin{aligned}\int_\pi^{100\pi}g(x)dx&=\sum_{n=1}^{99}\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}g(x)dx\\&=\sum_{n=1}^{99}\Biggl[2^na_n\sin(x-n\pi)-(b_n+(-1)^n)\cos(x-n\pi)\Biggr]_{n\pi}^{(n+1)\pi}\\&=\sum_{n=1}^{99}2(b_n+(-1)^n)\\&=6\sum_{n=1}^{99}(-1)^n=-6\end{aligned}이다.

+5점 · 연속함수의 성질을 이용할 수 있다.

[수학2-ⅲ]닫힌 구간 [nπ,(n+1)π]\displaystyle [n\pi,(n+1)\pi]에서 g(x)=2nancos⁡(x−nπ)+(bn+(−1)n)sin⁡(x−nπ)\displaystyle g(x)=2^na_n\cos(x-n\pi)+(b_n+(-1)^n)\sin(x-n\pi)이므로,g(nπ)=2nan=−2n−1an−1\displaystyle g(n\pi)=2^na_n=-2^{n-1}a_{n-1}이 된다. 따라서, an=(−12)an−1\displaystyle a_n=\left(-\frac12\right)a_{n-1}이 성립한다.

+5점 · 삼각함수의 정적분 값을 올바르게 유도할 수 있다.

반면, 조건 ∫π5π2g(x)dx=−2\displaystyle \int_\pi^{\frac{5\pi}{2}}g(x)dx=-2로부터 ∫2π5π2g(x)dx=4\displaystyle \int_{2\pi}^{\frac{5\pi}{2}}g(x)dx=4를 얻게 되고∫2π5π2g(x)dx=∫2π5π2(4a2cos⁡(x−2π)+(b2+1)sin⁡(x−2π))dx=[4a2sin⁡(x−2π)−3cos⁡(x−2π)]2π5π2=4a2+3\displaystyle \begin{aligned}\int_{2\pi}^{\frac{5\pi}{2}}g(x)dx&=\int_{2\pi}^{\frac{5\pi}{2}}(4a_2\cos(x-2\pi)+(b_2+1)\sin(x-2\pi))dx\\&=\Biggl[4a_2\sin(x-2\pi)-3\cos(x-2\pi)\Biggr]_{2\pi}^{\frac{5\pi}{2}}\\&=4a_2+3\end{aligned}이 되어, a2=14\displaystyle a_2=\frac14가 된다. 이로부터 an=(−12)n\displaystyle a_n=\left(-\frac12\right)^n을 얻게 된다.

+5점 · 정적분의 성질을 활용하여 정적분 값을 유도할 수 있다.

정적분 ∫π199π2g(x)dx\displaystyle \int_\pi^{\frac{199\pi}{2}}g(x)dx의 값은 ∫π100πg(x)dx−∫199π2100πg(x)dx\displaystyle \int_\pi^{100\pi}g(x)dx-\int_{\frac{199\pi}{2}}^{100\pi}g(x)dx이다.여기서 ∫π100πg(x)dx=−6\displaystyle \int_\pi^{100\pi}g(x)dx=-6이고,∫199π2100πg(x)dx=∫199π2100π(299a99cos⁡(x−99π)+(b99−1)sin⁡(x−99π))dx=[299a99sin⁡(x−99π)−(b99−1)cos⁡(x−99π)]199π2100π=−299a99+(b99−1)=1−3=−2\displaystyle \begin{aligned}\int_{\frac{199\pi}{2}}^{100\pi}g(x)dx&=\int_{\frac{199\pi}{2}}^{100\pi}(2^{99}a_{99}\cos(x-99\pi)+(b_{99}-1)\sin(x-99\pi))dx\\&=\Biggl[2^{99}a_{99}\sin(x-99\pi)-(b_{99}-1)\cos(x-99\pi)\Biggr]_{\frac{199\pi}{2}}^{100\pi}\\&=-2^{99}a_{99}+(b_{99}-1)=1-3=-2\end{aligned}가 된다. 따라서 ∫π199π2g(x)dx=−4\displaystyle \int_\pi^{\frac{199\pi}{2}}g(x)dx=-4이다.

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