자연계 1교시 수학2

[수학2-ⅰ]조건 $\displaystyle \int_\pi^{2\pi}g(x)dx=-6$으로부터,$\displaystyle -6=\int_\pi^{2\pi}(2a_1\cos(x-\pi)+(b_1-1)\sin(x-\pi))dx=2(b_1-1)$을 얻게 된다.따라서 $\displaystyle b_1=-2$이다.

[수학2-ⅱ]양의 정수 $\displaystyle n$에 대하여 닫힌 구간 $\displaystyle [n\pi,(n+1)\pi]$에서$\displaystyle g(x)=2^na_n\cos(x-n\pi)+(b_n+(-1)^n)\sin(x-n\pi)$이므로,$\displaystyle g^{\prime}(x)=-2^na_n\sin(x-n\pi)+(b_n+(-1)^n)\cos(x-n\pi)$을 얻게 된다. 따라서, $\displaystyle g^{\prime}(n\pi)=b_n+(-1)^n$임을 알 수 있다.한편, $\displaystyle 2$ 이상인 정수 $\displaystyle n$에 대하여 닫힌 구간 $\displaystyle [(n-1)\pi,n\pi]$에서$\displaystyle g(x)=2^{n-1}a_{n-1}\cos(x-(n-1)\pi)+(b_{n-1}+(-1)^{n-1})\sin(x-(n-1)\pi)$이고, $\displaystyle g^{\prime}(x)=-2^{n-1}a_{n-1}\sin(x-(n-1)\pi)+(b_{n-1}+(-1)^{n-1})\cos(x-(n-1)\pi)$이 되어,$\displaystyle g^{\prime}(n\pi)=-(b_{n-1}+(-1)^{n-1})$이 됨을 알 수 있다.따라서, $\displaystyle b_n+(-1)^n=-(b_{n-1}+(-1)^{n-1})$이 되고, $\displaystyle b_n=-b_{n-1}$이다. $\displaystyle b_1=-2$로부터 $\displaystyle b_n=2(-1)^n$임을 알 수 있다.

이제 정적분 $\displaystyle \int_\pi^{100\pi}g(x)dx$의 값은$\displaystyle \begin{aligned}\int_\pi^{100\pi}g(x)dx&=\sum_{n=1}^{99}\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}g(x)dx\\&=\sum_{n=1}^{99}\Biggl[2^na_n\sin(x-n\pi)-(b_n+(-1)^n)\cos(x-n\pi)\Biggr]_{n\pi}^{(n+1)\pi}\\&=\sum_{n=1}^{99}2(b_n+(-1)^n)\\&=6\sum_{n=1}^{99}(-1)^n=-6\end{aligned}$이다.

[수학2-ⅲ]닫힌 구간 $\displaystyle [n\pi,(n+1)\pi]$에서 $\displaystyle g(x)=2^na_n\cos(x-n\pi)+(b_n+(-1)^n)\sin(x-n\pi)$이므로,$\displaystyle g(n\pi)=2^na_n=-2^{n-1}a_{n-1}$이 된다. 따라서, $\displaystyle a_n=\left(-\frac12\right)a_{n-1}$이 성립한다.

반면, 조건 $\displaystyle \int_\pi^{\frac{5\pi}{2}}g(x)dx=-2$로부터 $\displaystyle \int_{2\pi}^{\frac{5\pi}{2}}g(x)dx=4$를 얻게 되고$\displaystyle \begin{aligned}\int_{2\pi}^{\frac{5\pi}{2}}g(x)dx&=\int_{2\pi}^{\frac{5\pi}{2}}(4a_2\cos(x-2\pi)+(b_2+1)\sin(x-2\pi))dx\\&=\Biggl[4a_2\sin(x-2\pi)-3\cos(x-2\pi)\Biggr]_{2\pi}^{\frac{5\pi}{2}}\\&=4a_2+3\end{aligned}$이 되어, $\displaystyle a_2=\frac14$가 된다. 이로부터 $\displaystyle a_n=\left(-\frac12\right)^n$을 얻게 된다.

정적분 $\displaystyle \int_\pi^{\frac{199\pi}{2}}g(x)dx$의 값은 $\displaystyle \int_\pi^{100\pi}g(x)dx-\int_{\frac{199\pi}{2}}^{100\pi}g(x)dx$이다.여기서 $\displaystyle \int_\pi^{100\pi}g(x)dx=-6$이고,$\displaystyle \begin{aligned}\int_{\frac{199\pi}{2}}^{100\pi}g(x)dx&=\int_{\frac{199\pi}{2}}^{100\pi}(2^{99}a_{99}\cos(x-99\pi)+(b_{99}-1)\sin(x-99\pi))dx\\&=\Biggl[2^{99}a_{99}\sin(x-99\pi)-(b_{99}-1)\cos(x-99\pi)\Biggr]_{\frac{199\pi}{2}}^{100\pi}\\&=-2^{99}a_{99}+(b_{99}-1)=1-3=-2\end{aligned}$가 된다. 따라서 $\displaystyle \int_\pi^{\frac{199\pi}{2}}g(x)dx=-4$이다.