자연계 2교시 수학1

성균관대 2020학년도 수시 자연계 2교시 수학1 · mathesis.kr/archive/skku/2020su/jayeongyo2_1

[수학1]다음 <제시문1> ~ <제시문2>를 읽고 [수학1-ⅰ] ~ [수학1-ⅳ]를 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

<제시문1>쌍곡선 $\displaystyle x^2-2y^2=-1$ 의 윗부분을 $\displaystyle C_1$ 으로 하고, 아랫부분을 $\displaystyle C_2$ 라고 하자. 쌍곡선 밖의 한 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 에서 곡선 $\displaystyle C_1$ 에 그은 접선의 접점을 $\displaystyle \mathrm{Q}$ , 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 에서 곡선 $\displaystyle C_2$ 에 그은 접선의 접점을 $\displaystyle \mathrm{R}$ 로 표기하자.

<제시문2> $\displaystyle n$ 은 양의 정수라고 하자. <제시문1>에서 정의된 두 곡선 $\displaystyle C_1$ , $\displaystyle C_2$ 에 대하여, 점 $\displaystyle \mathrm{P}_n(3n,n)$ 에서 곡선 $\displaystyle C_1$ 에 그은 접선 위의 접점을 $\displaystyle \mathrm{Q}_n\left(a,\sqrt{\frac{a^2+1}{2}}\right)$ , 곡선 $\displaystyle C_2$ 에 그은 접선 위의 접점을 $\displaystyle \mathrm{R}_n\left(b,-\sqrt{\frac{b^2+1}{2}}\right)$ 이라 하자. (단, $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 는 실수)

[수학1-ⅰ] <제시문1>에서 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 에서의 접선의 기울기를 $\displaystyle m_1$ 이라고 하고, 점 $\displaystyle \mathrm{R}$ 에서의 접선의 기울기를 $\displaystyle m_2$ 라고 할 때, $\displaystyle m_1$ 과 $\displaystyle m_2$ 의 범위를 찾은 후, 접선의 기울기가 $\displaystyle \frac13$ 이 되는 점들의 좌표를 구하고 그 이유를 논하시오.

[수학1-ⅱ] <제시문2>에 있는 실수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 와 양의 정수 $\displaystyle n$ 에 대하여, $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 를 $\displaystyle n$ 에 대한 식으로 표현하고 그 이유를 논하시오.

[수학1-ⅲ] <제시문2>의 실수 $\displaystyle a$ 가 모든 양의 정수 $\displaystyle n$ 에 대해서 부등식 $\displaystyle k\le a<l$ 을 만족할 때, $\displaystyle k$ 의 최댓값과 $\displaystyle l$ 의 최솟값을 구하고 그 이유를 논하시오. (단, $\displaystyle k$ , $\displaystyle l$ 은 실수)

[수학1-ⅳ] <제시문2>에 있는 세 점 $\displaystyle \mathrm{P}_n$ , $\displaystyle \mathrm{Q}_n$ , $\displaystyle \mathrm{R}_n$ 과 원점 $\displaystyle \mathrm{O}(0,0,0)$ 에 대하여, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{P}_n\mathrm{OQ}_n$ 의 넓이와 삼각형 $\displaystyle \mathrm{R}_n\mathrm{OP}_n$ 의 넓이의 합을 $\displaystyle A_n$ 이라고 놓을 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{A_n}{n}$ 을 구하고 그 이유를 논하시오.Correction. 이 문항은 좌표평면의 문제이므로 원점의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{O}(0,0)$ 이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

해설강의 준비중

성균관대 2020학년도 수시 자연계 2교시 수학1 · mathesis.kr/archive/skku/2020su/jayeongyo2_1

+3점 · 접선의 기울기의 범위를 구한다.

+3점 · 접선의 기울기가

\displaystyle \frac13

인 점들의 좌표를 구한다.

[수학1-ⅰ]점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 의 좌표를 $\displaystyle (x_1,y_1)$ 이라고 두면, 이 점에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle x_1x-2y_1y=-1$ 과 같게 되고, 접선의 기울기 $\displaystyle m_1$ 은 $\displaystyle m_1=\frac{x_1}{2y_1}=\frac{x_1}{\sqrt{2(x_1^2+1)}}$ 이 되어 $\displaystyle -\frac{1}{\sqrt2}<m_1<\frac{1}{\sqrt2}$ 을 만족하게 된다. 또한 위의 기울기에 대한 식으로부터 $\displaystyle m_1=\frac13$ 이 되는 점의 좌표는 $\displaystyle \left(\sqrt{\frac27},\frac32\sqrt{\frac27}\right)$ 이 된다. 마찬가지로, 점 $\displaystyle \mathrm{R}$ 의 좌표를 $\displaystyle (x_2,y_2)$ 라고 두면, 이 점에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle x_2x-2y_2y=-1$ 과 같게 되고, 접선의 기울기 $\displaystyle m_2$ 는 $\displaystyle m_2=\frac{x_2}{2y_2}=-\frac{x_2}{\sqrt{2(x_2^2+1)}}$ 이 되어 $\displaystyle -\frac{1}{\sqrt2}<m_2<\frac{1}{\sqrt2}$ 를 만족하게 된다. 또한 위의 기울기에 대한 식으로부터 $\displaystyle m_2=\frac13$ 이 되는 점의 좌표는 $\displaystyle \left(-\sqrt{\frac27},-\frac32\sqrt{\frac27}\right)$ 이 된다.

+8점 ·

\displaystyle a

\displaystyle b

가 만족하는 이차방정식과 근의 공식으로부터

\displaystyle a

\displaystyle b

를

\displaystyle n

에 관한 식으로 표현한다.

[수학1-ⅱ]점 $\displaystyle \left(a,\sqrt{\frac{a^2+1}{2}}\right)$ 에서의 접선 $\displaystyle ax-2\sqrt{\frac{a^2+1}{2}}y=-1$ 이 $\displaystyle (3n,n)$ 을 지나므로, $\displaystyle 3na-2\sqrt{\frac{a^2+1}{2}}n=-1$ 이 성립한다. 이 식으로부터, $\displaystyle 7n^2a^2+6na+(1-2n^2)=0$ 를 얻는다. 따라서 $\displaystyle a$ 는 이차방정식 $\displaystyle 7n^2x^2+6nx+(1-2n^2)=0$ 의 한 근이 된다. 같은 방법으로 $\displaystyle b$ 역시 같은 이차방정식의 근이 되고 $\displaystyle a>b$ 이므로, 근의 공식을 적용하면, $\displaystyle a=\frac{-3+\sqrt{2(1+7n^2)}}{7n}$ 이 되고, $\displaystyle b=\frac{-3-\sqrt{2(1+7n^2)}}{7n}$ 이 된다.

+3점 · 실수

\displaystyle a

가 가질 수 있는 최댓값을 구한다.

Caution. 하한이나 상한을 구한 뒤에는 그 값이 실제로 가능한지 확인해야 한다: 이 채점기준에서 구하는 것은 $\displaystyle a$ 의 최댓값이 아니라 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대해 $\displaystyle a<l$ 을 만족하는 $\displaystyle l$ 의 최솟값 $\displaystyle \sqrt{2/7}$ 이다. $\displaystyle a$ 는 이 값에 가까워지지만 도달하지 않으므로, 이를 $\displaystyle a$ 의 최댓값이라고 할 수는 없다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+3점 · 실수

\displaystyle a

가 가질 수 있는 최솟값을 구한다.

[수학1-ⅲ]두 접선이 기울기가 $\displaystyle \frac13$ 인 직선 위에 놓여있는 점들 중 $\displaystyle 1$ 사분면에서 만나야하므로, $\displaystyle \left(a,\sqrt{\frac{a^2+1}{2}}\right)$ 에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac13$ 보다 작아야 하고, 따라서, $\displaystyle a<\sqrt{\frac27}$ 이어야 한다. 한편, $\displaystyle n=1$ 에 대응하는 $\displaystyle a$ 의 값은 [수학1-ⅱ]의 답으로부터, $\displaystyle \frac17$ 이 된다. 따라서 $\displaystyle \frac17\le a<\sqrt{\frac27}$ 이 되어, $\displaystyle k$ 의 최댓값 $\displaystyle =\frac17$ , $\displaystyle l$ 의 최솟값 $\displaystyle =\sqrt{\frac27}$ 이 된다.

+10점 · 삼각형의 넓이

\displaystyle A_n

을 계산하고, 수열

\displaystyle \frac{A_n}{n}

의 극한값을 계산한다.

[수학1-ⅳ]선분 $\displaystyle OP_n$ 의 길이는 $\displaystyle \sqrt{10}n$ 이고, 점 $\displaystyle Q_n$ 에서 직선 $\displaystyle x-3y=0$ 까지 이르는 거리는 $\displaystyle \begin{aligned}\frac{\left|a-3\sqrt{\frac{a^2+1}{2}}\right|}{\sqrt{10}}&=\frac{\left|a-3\frac{(3na+1)}{2n}\right|}{\sqrt{10}}=\frac{\frac72a+\frac{3}{2n}}{\sqrt{10}}=\frac{\frac72\left(\frac{-3+\sqrt{2+14n^2}}{7n}\right)+\frac{3}{2n}}{\sqrt{10}}\\&=\frac{\sqrt{2+14n^2}}{2\sqrt{10}n}\end{aligned}$

이므로, 삼각형 $\displaystyle Q_nOP_n$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac12\cdot\sqrt{10}n\cdot\frac{\sqrt{2+14n^2}}{2\sqrt{10}n}=\frac{\sqrt{2+14n^2}}4$ 이 된다.비슷한 방법으로, 점 $\displaystyle R_n$ 에서 직선 $\displaystyle x-3y=0$ 까지 이르는 거리는 $\displaystyle \begin{aligned}\frac{\left|b+3\sqrt{\frac{b^2+1}{2}}\right|}{\sqrt{10}}&=\frac{b-3\frac{(3nb+1)}{2n}}{\sqrt{10}}=\frac{-\frac72b-\frac{3}{2n}}{\sqrt{10}}=\frac{\left(-\frac72\right)\left(\frac{-3-\sqrt{2+14n^2}}{7n}\right)-\frac{3}{2n}}{\sqrt{10}}\\&=\frac{\sqrt{2+14n^2}}{2\sqrt{10}n}\end{aligned}$

이므로, 삼각형 $\displaystyle R_nOP_n$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac12\cdot\sqrt{10}n\cdot\frac{\sqrt{2+14n^2}}{2\sqrt{10}n}=\frac{\sqrt{2+14n^2}}4$ 이 된다.

따라서 $\displaystyle A_n=\frac{\sqrt{2+14n^2}}2$ 이 되므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{A_n}{n}=\frac{\sqrt{14}}2$ 가 된다.

Caution. 극한값에 가까워진다는 사실을 그 값과 같다는 뜻으로 해석해선 안 된다: 여기서 $\displaystyle a=\frac{-3+\sqrt{2+14n^2}}{7n}$ 은 $\displaystyle n\to\infty$ 일 때 $\displaystyle \sqrt{2/7}$ 로 수렴하지만, 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대해 $\displaystyle a<\sqrt{2/7}$ 이다. 이 극한값을 유한한 $\displaystyle n$ 에서의 $\displaystyle a$ 의 값으로 대입해서는 안 된다.

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