자연계 2교시 수학1

[수학1-ⅰ]점 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 좌표를 $\displaystyle (x_1,y_1)$이라고 두면, 이 점에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle x_1x-2y_1y=-1$과 같게 되고, 접선의 기울기 $\displaystyle m_1$은 $\displaystyle m_1=\frac{x_1}{2y_1}=\frac{x_1}{\sqrt{2(x_1^2+1)}}$이 되어 $\displaystyle -\frac{1}{\sqrt2}<m_1<\frac{1}{\sqrt2}$을 만족하게 된다. 또한 위의 기울기에 대한 식으로부터 $\displaystyle m_1=\frac13$이 되는 점의 좌표는 $\displaystyle \left(\sqrt{\frac27},\frac32\sqrt{\frac27}\right)$이 된다. 마찬가지로, 점 $\displaystyle \mathrm{R}$의 좌표를 $\displaystyle (x_2,y_2)$라고 두면, 이 점에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle x_2x-2y_2y=-1$과 같게 되고, 접선의 기울기 $\displaystyle m_2$는 $\displaystyle m_2=\frac{x_2}{2y_2}=-\frac{x_2}{\sqrt{2(x_2^2+1)}}$이 되어 $\displaystyle -\frac{1}{\sqrt2}<m_2<\frac{1}{\sqrt2}$를 만족하게 된다. 또한 위의 기울기에 대한 식으로부터 $\displaystyle m_2=\frac13$이 되는 점의 좌표는 $\displaystyle \left(-\sqrt{\frac27},-\frac32\sqrt{\frac27}\right)$이 된다.

[수학1-ⅱ]점 $\displaystyle \left(a,\sqrt{\frac{a^2+1}{2}}\right)$에서의 접선 $\displaystyle ax-2\sqrt{\frac{a^2+1}{2}}y=-1$이 $\displaystyle (3n,n)$을 지나므로, $\displaystyle 3na-2\sqrt{\frac{a^2+1}{2}}n=-1$이 성립한다. 이 식으로부터, $\displaystyle 7n^2a^2+6na+(1-2n^2)=0$를 얻는다. 따라서 $\displaystyle a$는 이차방정식 $\displaystyle 7n^2x^2+6nx+(1-2n^2)=0$의 한 근이 된다. 같은 방법으로 $\displaystyle b$ 역시 같은 이차방정식의 근이 되고 $\displaystyle a>b$이므로, 근의 공식을 적용하면, $\displaystyle a=\frac{-3+\sqrt{2(1+7n^2)}}{7n}$이 되고, $\displaystyle b=\frac{-3-\sqrt{2(1+7n^2)}}{7n}$이 된다.

[수학1-ⅲ]두 접선이 기울기가 $\displaystyle \frac13$인 직선 위에 놓여있는 점들 중 $\displaystyle 1$사분면에서 만나야하므로, $\displaystyle \left(a,\sqrt{\frac{a^2+1}{2}}\right)$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac13$보다 작아야 하고, 따라서, $\displaystyle a<\sqrt{\frac27}$이어야 한다. 한편, $\displaystyle n=1$에 대응하는 $\displaystyle a$의 값은 [수학1-ⅱ]의 답으로부터, $\displaystyle \frac17$이 된다. 따라서 $\displaystyle \frac17\le a<\sqrt{\frac27}$이 되어, $\displaystyle k$의 최댓값 $\displaystyle =\frac17$, $\displaystyle l$의 최솟값 $\displaystyle =\sqrt{\frac27}$이 된다.

[수학1-ⅳ]선분 $\displaystyle OP_n$의 길이는 $\displaystyle \sqrt{10}n$이고, 점 $\displaystyle Q_n$에서 직선 $\displaystyle x-3y=0$까지 이르는 거리는$\displaystyle \begin{aligned}\frac{\left|a-3\sqrt{\frac{a^2+1}{2}}\right|}{\sqrt{10}}&=\frac{\left|a-3\frac{(3na+1)}{2n}\right|}{\sqrt{10}}=\frac{\frac72a+\frac{3}{2n}}{\sqrt{10}}=\frac{\frac72\left(\frac{-3+\sqrt{2+14n^2}}{7n}\right)+\frac{3}{2n}}{\sqrt{10}}\\&=\frac{\sqrt{2+14n^2}}{2\sqrt{10}n}\end{aligned}$

이므로, 삼각형 $\displaystyle Q_nOP_n$의 넓이는 $\displaystyle \frac12\cdot\sqrt{10}n\cdot\frac{\sqrt{2+14n^2}}{2\sqrt{10}n}=\frac{\sqrt{2+14n^2}}4$이 된다.비슷한 방법으로, 점 $\displaystyle R_n$에서 직선 $\displaystyle x-3y=0$까지 이르는 거리는$\displaystyle \begin{aligned}\frac{\left|b+3\sqrt{\frac{b^2+1}{2}}\right|}{\sqrt{10}}&=\frac{b-3\frac{(3nb+1)}{2n}}{\sqrt{10}}=\frac{-\frac72b-\frac{3}{2n}}{\sqrt{10}}=\frac{\left(-\frac72\right)\left(\frac{-3-\sqrt{2+14n^2}}{7n}\right)-\frac{3}{2n}}{\sqrt{10}}\\&=\frac{\sqrt{2+14n^2}}{2\sqrt{10}n}\end{aligned}$

이므로, 삼각형 $\displaystyle R_nOP_n$의 넓이는 $\displaystyle \frac12\cdot\sqrt{10}n\cdot\frac{\sqrt{2+14n^2}}{2\sqrt{10}n}=\frac{\sqrt{2+14n^2}}4$이 된다.

따라서 $\displaystyle A_n=\frac{\sqrt{2+14n^2}}2$이 되므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{A_n}{n}=\frac{\sqrt{14}}2$가 된다.