공학계열 1번

[가] 공집합이 아닌 집합 $\displaystyle D$에서 실수 전체의 집합 $\displaystyle \mathbb R$로 가는 함수 $\displaystyle f:D\to\mathbb R$을 생각해보자. 만약 모든 $\displaystyle x\in D$에 대하여 $\displaystyle f(x)\le f(x_{\max})$인 $\displaystyle x_{\max}\in D$가 존재하면 함수 $\displaystyle f$는 $\displaystyle x_{\max}$에서 최댓값 $\displaystyle f(x_{\max})$를 갖는다고 말하고, 모든 $\displaystyle x\in D$에 대하여 $\displaystyle f(x)\ge f(x_{\min})$인 $\displaystyle x_{\min}\in D$가 존재하면 함수 $\displaystyle f$는 $\displaystyle x_{\min}$에서 최솟값 $\displaystyle f(x_{\min})$을 갖는다고 말한다. 다시 말하면, $\displaystyle f$의 최댓값(또는 최솟값)은 $\displaystyle f$가 가질 수 있는 가장 큰 (또는 작은) 값이다. 정의에 의해서 모든 $\displaystyle x\in D$에 대하여 $\displaystyle f(x)\le M$가 성립하더라도 $\displaystyle f(x_{\max})=M$인 $\displaystyle x_{\max}\in D$가 존재하지 않으면 실수 $\displaystyle M$은 $\displaystyle f$의 최댓값이 될 수 없다. 예를 들어, 실수 전체의 집합 $\displaystyle \mathbb R$에서 정의된 함수 $\displaystyle f(x)=1-x^2$을 생각하면 모든 $\displaystyle x\in\mathbb R$에 대하여 $\displaystyle f(x)\le2$이지만 $\displaystyle f(x_{\max})=2$인 $\displaystyle x_{\max}\in\mathbb R$가 존재하지 않으므로 2는 $\displaystyle f$의 최댓값이 될 수 없다. 사실 모든 $\displaystyle x\in\mathbb R$에 대하여 $\displaystyle f(x)\le1$이고 $\displaystyle f(0)=1$이므로 $\displaystyle f$는 0에서 최댓값 1을 갖는다.

[나] 함수 $\displaystyle f:D\to\mathbb R$의 최댓값 또는 최솟값을 구하는 문제는 가장 고전적이면서도 중요한 수학문제 중의 하나이다. $\displaystyle D$가 실수 전체의 집합 $\displaystyle \mathbb R$ 또는 그 곱집합인 $\displaystyle \mathbb R^n$의 부분집합이면 $\displaystyle f$의 최댓값 또는 최솟값을 구하는 간단하면서도 매우 유용한 방법은 절대부등식을 이용하는 것이다. 임의의 실수 $\displaystyle a_1,\ldots,a_n$에 대하여 성립하는 부등식$\displaystyle a_1^2+\cdots+a_n^2\ge0$은 가장 간단한 절대부등식이며 등호는 $\displaystyle a_1=\cdots=a_n=0$일 때만 성립한다. 특히 유용한 절대부등식은 음이 아닌 임의의 실수 $\displaystyle a_1,\ldots,a_n$에 대한 산술·기하평균 부등식$\displaystyle \frac{a_1+\cdots+a_n}n\ge\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}$이며 등호는 $\displaystyle a_1=\cdots=a_n$일 때만 성립한다.

[다] 임의의 실수 $\displaystyle a_1,b_1,\ldots,a_n,b_n$에 대하여 코시-슈바르츠(Cauchy-Schwarz) 부등식$\displaystyle (a_1b_1+\cdots+a_nb_n)^2\le(a_1^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+\cdots+b_n^2)$이 성립하며 등식은 모든 $\displaystyle k=1,\ldots,n$에 대하여 $\displaystyle \alpha a_k=\beta b_k$인 상수 $\displaystyle \alpha,\beta$(동시에 0은 아님)가 존재할 때만 가능하다. 코시-슈바르츠 부등식을 최댓값·최솟값 문제에 응용할 수 있다. 예를 들어, $\displaystyle 2x^2+y^2=1$을 만족하는 임의의 실수 $\displaystyle x,y$에 대하여$\displaystyle (x+2y)^2=\left\{\left(\frac1{\sqrt2}\right)(\sqrt2x)+2y\right\}^2\le\left\{\left(\frac1{\sqrt2}\right)^2+2^2\right\}\{(\sqrt2x)^2+y^2\}=\frac92$이고 등호는$\displaystyle \frac{\sqrt2x}{1/\sqrt2}=\frac y2,\quad\text{즉 }4x=y$일 때 성립한다. 또한 $\displaystyle 2x^2+y^2=1$이고 $\displaystyle 4x=y$인 실수 $\displaystyle x$와 $\displaystyle y$의 쌍이 아래와 같이 두 개 존재한다.$\displaystyle (x,y)=\left(\pm\frac1{3\sqrt2},\pm\frac4{3\sqrt2}\right)$따라서 $\displaystyle \mathbb R^2$의 부분집합 $\displaystyle D=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid2x^2+y^2=1\}$에서 정의된 함수 $\displaystyle f(x,y)=x+2y$의 최솟값은 $\displaystyle -3/\sqrt2$이고 최댓값은 $\displaystyle 3/\sqrt2$이다.