공학계열 1번

【1-2】 임의의 $\displaystyle (x,y)\in D$에 대하여$\displaystyle \begin{aligned}1&=\frac{x^m+y^n}{m+n}=\frac1{n+m}\left(\frac1nx^m+\cdots+\frac1nx^m+\frac1my^n+\cdots+\frac1my^n\right)\\&\ge\sqrt[m+n]{\left(\frac1nx^m\right)^n\left(\frac1my^n\right)^m}=\sqrt[m+n]{\frac1{n^nm^m}(xy)^{mn}}\end{aligned}$이므로$\displaystyle (xy)^{mn}\le n^nm^m$이고 따라서$\displaystyle f(x,y)=xy\le(n^nm^m)^{1/mn}=n^{1/m}m^{1/n}$이다. 이 부등식에서 등호는$\displaystyle \frac1nx^m=\frac1my^n$일 때만 성립하고, 이 때 $\displaystyle x^m+y^n=m+n,x>0,y>0$을 이용하면$\displaystyle x^m=n,y^n=m\quad\Leftrightarrow\quad x=n^{1/m},y=m^{1/n}$이고$\displaystyle f(x,y)=n^{1/m}m^{1/n}$이다. 그러므로 $\displaystyle f$는 최댓값 $\displaystyle n^{1/m}m^{1/n}$을 갖는다.

【1-3】 실수 $\displaystyle t$에 대한 이차함수$\displaystyle \phi(t)=(a_1-tb_1)^2+\cdots+(a_n-tb_n)^2$을 생각하자. $\displaystyle A=a_1^2+\cdots+a_n^2,B=b_1^2+\cdots+b_n^2,C=a_1b_1+\cdots+a_nb_n$으로 놓으면$\displaystyle \phi(t)=Bt^2-2Ct+A=B\left(t-\frac CB\right)^2+\frac{AB-C^2}B$으로 쓸 수 있다. 모든 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle \phi(t)\ge0$이 성립하므로 특히 $\displaystyle t=\beta=C/B$일 때도 성립한다. 따라서$\displaystyle \phi(\beta)=\frac{AB-C^2}B\ge0$이므로 $\displaystyle AB\ge C^2$이 성립한다. 또한 $\displaystyle AB=C^2$이면$\displaystyle \phi(\beta)=(a_1-\beta b_1)^2+\cdots+(a_n-\beta b_n)^2=0$이므로 모든 $\displaystyle k=1,\ldots,n$에 대하여 $\displaystyle a_k=\beta b_k$가 성립한다.

【1-4】 산술·기하평균 부등식에 의하여$\displaystyle f(x,y)=xy+\frac{ab}{xy}+a+b\ge2\sqrt{ab}+a+b$이고 등식이 $\displaystyle (xy)^2=ab$일 때 성립하므로$\displaystyle m(a,b)=2\sqrt{ab}+a+b=(\sqrt a+\sqrt b)^2$이다. 임의의 양수 $\displaystyle r,s$에 대하여 코시-슈바르츠 부등식을 두 번 이용하면$\displaystyle (\sqrt a+\sqrt b)^4\le\left(1+\frac1r\right)^2(a+rb)^2\le\left(1+\frac1r\right)^2\left(1+\frac1s\right)(a^2+r^2sb^2)$이고 등식은$\displaystyle \frac{\sqrt a}1=\frac{\sqrt r\sqrt b}{1/\sqrt r},\quad\frac a1=\frac{r\sqrt s\,b}{1/\sqrt s}$일 때만 성립한다. 따라서 $\displaystyle r=s=2$로 잡으면,$\displaystyle m(a,b)\le\sqrt{\left(\frac32\right)^3}\sqrt{a^2+8b^2}=\frac{3\sqrt3}2$이고 등식은 $\displaystyle a=4b$일 때 성립한다. 그러므로 $\displaystyle m(a,b)$의 최댓값은 $\displaystyle 3\sqrt3/2$이다.