서강대 2014학년도 수시 공학계열 2번 해설

<문제 2 : 50%, 글자 제한 없음> 다음 글을 읽고, 물음에 답하라.

[가] 토지의 크기 측정을 위해 기하(geometry)라는 단어가 그리스어에서 생겨났듯이 고대 그리스인들은 무리수 개념―예를 들어, $\displaystyle \sqrt2$ , $\displaystyle \sqrt3$ 등을 알고 있었다. 물론 이런 무리수들을 숫자로 인식하지는 않았지만, 오늘날과 같은 개념인 넓이가 2가 되는 정사각형의 한 변의 길이를 $\displaystyle \sqrt2$ 로 알고 있었다.

[나] 고대 그리스인들은 공간에서 부피의 단위(단위 부피)를 모든 모서리의 길이가 1인 정육면체로 정의하고, 각 모서리의 길이가 자연수인 직육면체의 부피를 단위 부피로의 분할을 통해 너비×높이×깊이로 이해하였다. 이는 평면에서 자연수 길이를 갖는 직사각형의 넓이의 개념을 자연스럽게 확장한 것이다. 그렇다면 유리수 길이를 가지는 직육면체의 부피는 어떻게 계산될까? 먼저 평면에서 두 변의 길이가 각각 $\displaystyle 3/2$ , $\displaystyle 5/2$ 인 직사각형을 생각하자. 차례로 변의 길이가 $\displaystyle 1/2$ 인 정사각형을 【그림 1】처럼 이어붙임을 하여 15개 만든다. 변의 길이가 $\displaystyle 1/2$ 인 정사각형은 길이 1인 정사각형의 $\displaystyle 1/4$ 을 차지하므로 그 넓이는 $\displaystyle 1/4$ 이다. 이러한 개념을 이용하면 유리수 길이를 갖는 직사각형의 넓이는 너비×높이임을 알 수 있다.

【그림 1】 한 변의 길이가 1/2인 정사각형 15개를 이어붙인 직사각형

이 방법을 공간의 경우로 확장할 수 있으며, 모서리의 길이가 유리수인 직육면체의 경우도 분할 또는 이어붙임을 통해 동일한 부피 공식인 너비×높이×깊이를 얻는다. 일반적으로 직육면체의 모서리의 길이가 무리수라고 하더라도 유리수의 극한을 이용하여 동일한 부피 공식을 얻는다.

[다] 【그림 2】에서 평행사변형 $\displaystyle ABCD$ 에서 삼각형 $\displaystyle BCE$ 를 잘라서 $\displaystyle ADF$ 에 붙인다. 이러한 분할과 이어붙임을 통해 평행사변형 $\displaystyle ABCD$ 와 직사각형 $\displaystyle ABEF$ 의 넓이가 같음을 알 수 있다. 따라서 주어진 평행사변형의 넓이는 너비×높이가 된다. 이를 이용하면 삼각형의 면적은 $\displaystyle 1/2$ ×너비×높이가 되고 공간에서 직각삼각기둥의 부피는 삼각형의 넓이×높이로 계산할 수 있다. (【그림 3】 참고) 이 공식은 직각이 아닌 삼각기둥의 부피에도 동일하게 성립한다.

【그림 2】 삼각형 BCE를 ADF로 옮겨 직사각형으로 만드는 평행사변형

공간에서 【그림 4】와 같이 $\displaystyle x$ 축으로 기울어진 평행육면체 $\displaystyle ABGK$ - $\displaystyle DCHL$ 을 생각하자. 다면체 $\displaystyle EBGF$ - $\displaystyle HC$ 를 잘라 $\displaystyle IAKJ$ - $\displaystyle LD$ 에 이어붙임을 하여 직육면체 $\displaystyle IEFJ$ - $\displaystyle DCHL$ 을 얻는다. 이러한 방법으로 일반적인 평행육면체인 경우도 직육면체로 변형하여 밑면(평행사변형)의 넓이×높이로 부피를 계산할 수 있다.

[라] 고대 그리스인들은 유한 번의 분할 또는 이어붙임을 하여 사면체를 직육면체로 변형하고자 하였다. 이는 불가능하다는 것이 20세기 초가 되어서야 밝혀졌다. 그렇다면 사면체의 부피를 어떻게 구할 수 있을까? 사면체 $\displaystyle ABCD$ 의 여섯 개의 모서리를 각각 이등분하여 【그림 5】와 같이 연결하면, 작은 사면체 두 개와 삼각기둥 두 개로 분할된다. 이와 같은 분할을 반복하여 만들어진 삼각기둥의 부피를 모두 합하면 $\displaystyle \begin{aligned}&\left(\frac14+\frac1{4^2}+\frac1{4^3}+\cdots\right)\times\text{밑면(삼각형 }ABC\text{)의 넓이}\times\text{높이}\\&=\frac13\times\text{밑면(삼각형 }ABC\text{)의 넓이}\times\text{높이}\qquad\cdots\text{(1)}\end{aligned}$ 이다. 사면체에서 삼각기둥을 계속해서 제거하면 남은 부분의 부피는 0으로 수렴하므로 결국 사면체의 부피는 $\displaystyle \frac13\times\text{밑면(삼각형 }ABC\text{)의 넓이}\times\text{높이}$ 이다.

【2-1】 제시문 [나]를 참고하여 변의 길이가 임의의 양의 유리수인 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 설명하고 직육면체의 경우로 확장하여라.

【2-2】 제시문 [라]의 정사면체 분할에서 얻어지는 두 사면체의 부피가 같고 두 삼각기둥 역시 부피가 같음을 보여라.

【2-3】 제시문 [라]에서 (1)이 성립함을 자세히 설명하여라.

【2-4】 정팔면체의 한 삼각형을 밑면이라고 하고 마주보이는 반대편 삼각형까지의 거리를 높이라고 할 때, 제시문을 이용하여 부피 공식을 유도하라.

서강대 2014학년도 수시 공학계열 2번 · mathesis.kr/archive/sogang/2014su/gonghak_2

출제 및 채점기준 · 고등학교 교과서의 기하와 벡터 내용을 다루고 있으며 특히 공간도형의 기하적인 문제와 부피 계산을 무한등비급수로서 해결 가능한 예를 바탕으로 출제하여, 학생들이 기본 개념에 대한 이해 및 응용력을 평가하고자 했다.

【2-1】 직사각형의 경우, 변의 길이가 $\displaystyle m/n$ , $\displaystyle p/q$ 라고 하자. $\displaystyle n$ 과 $\displaystyle q$ 의 최소공배수를 $\displaystyle L$ 이라고 하면, 적당한 정수 $\displaystyle m^{\prime}$ , $\displaystyle p^{\prime}$ 에 대하여 $\displaystyle m/n=m^{\prime}/L$ 이고 $\displaystyle p/q=p^{\prime}/L$ 으로 쓸 수 있다. 한 변의 길이가 $\displaystyle 1/L$ 인 정사각형을 제시문 [나]에서와 같이 $\displaystyle m^{\prime}p^{\prime}$ 개 이어붙인다. 그런데 변의 길이가 $\displaystyle 1/L$ 인 정사각형의 넓이는 길이가 1인 정사각형의 넓이의 $\displaystyle 1/L^2$ 이다. 따라서 구하는 넓이는 $\displaystyle m^{\prime}p^{\prime}/L^2=mp/nq$ 이므로 변의 길이가 유리수인 직사각형의 넓이는 너비×높이이다. 세 유리수의 최소공배를 이용하여 평면의 방법을 직육면체의 경우로 확장할 수 있다.

문제 【2-2】와 【2-3】에 해당함. 각 모서리를 이등분한 점을 그림과 같이 $\displaystyle E,F,G,H,I,J$ 라 하자.

【2-2】 모서리의 길이를 이등분하므로 삼각형 $\displaystyle EFG$ , $\displaystyle EFD$ , $\displaystyle EGD$ , $\displaystyle FGD$ , $\displaystyle AHJ$ , $\displaystyle AJE$ , $\displaystyle AHE$ , $\displaystyle HJE$ 는 서로 합동이므로 사면체 $\displaystyle EFGD$ 와 사면체 $\displaystyle AHJE$ 의 부피는 같다.삼각기둥 $\displaystyle JIC$ - $\displaystyle EFG$ 과 삼각기둥 $\displaystyle BIF$ - $\displaystyle HJE$ 를 비교한다. 삼각기둥 $\displaystyle JIC$ - $\displaystyle EFG$ 의 밑면(삼각형 $\displaystyle JIC$ )은 삼각기둥 $\displaystyle BIF$ - $\displaystyle HJE$ 의 밑면(삼각형 $\displaystyle BIF$ )과 합동이고 각각의 높이도 정사면체의 모서리의 길이의 반으로서 같다. 따라서 두 삼각기둥의 부피는 같다.Correction. 두 삼각기둥의 높이는 정사면체의 모서리 길이의 반이 아니라 높이의 반이다. 두 삼각기둥의 높이가 같다는 결론은 달라지지 않는다.

【2-3】 삼각형 $\displaystyle EFG$ 와 삼각형 $\displaystyle AHJ$ 는 합동으로서 면적이 같다. 삼각형 $\displaystyle EFG$ 로부터 $\displaystyle D$ 까지 높이와 삼각형 $\displaystyle AHJ$ 로부터 $\displaystyle E$ 까지 높이가 사면체의 높이의 $\displaystyle 1/2$ 로서 같다. 따라서 사면체 $\displaystyle EFGD$ 와 사면체 $\displaystyle AHJE$ 의 부피는 같다.삼각기둥 $\displaystyle JIC$ - $\displaystyle EFG$ 과 삼각기둥 $\displaystyle BIF$ - $\displaystyle HJE$ 를 비교한다. 삼각기둥 $\displaystyle JIC$ - $\displaystyle EFG$ 의 밑면(삼각형 $\displaystyle JIC$ )의 넓이는 평행사변형 $\displaystyle HBIJ$ 의 $\displaystyle 1/2$ 이다. 그런데 삼각형 $\displaystyle JIC$ 로부터 삼각형 $\displaystyle EFG$ 까지 높이와 평행사변형 $\displaystyle HBIJ$ 로부터 이와 평행한 직선 $\displaystyle EF$ 까지 높이는 같다. 평행사변형 $\displaystyle HBIJ$ 의 넓이×직선 $\displaystyle EF$ 까지 높이는 삼각기둥 $\displaystyle BIF$ - $\displaystyle HJE$ 의 부피의 $\displaystyle 1/2$ 이므로 결국 두 삼각기둥의 부피는 같다.Correction. 평행사변형 HBIJ의 넓이에 직선 EF까지의 높이를 곱한 값은 삼각기둥 BIF-HJE 부피의 $\displaystyle 1/2$ 이 아니라 $\displaystyle 2$ 배이다.삼각형 $\displaystyle ABC$ 의 넓이를 $\displaystyle S$ 라 하고, 사면체 $\displaystyle ABCD$ 의 높이를 $\displaystyle h$ 라고 하자. 문제 한 삼각기둥의 부피는 $\displaystyle \left[S\times\frac14\right]\times\left[h\times\frac12\right]=S\times h\times1/8$ 따라서 두 삼각기둥의 부피는 $\displaystyle S\times h\times1/4$ 이다.두 사면체 $\displaystyle EFGD$ 와 사면체 $\displaystyle AHJE$ 에 대해 위 분할을 통해 얻어진 삼각기둥의 부피는 같으며 삼각형 $\displaystyle EFG$ 넓이×높이(사면체 $\displaystyle EFGD$ 의 높이)× $\displaystyle 1/8$ 이다. 그런데 이와 같은 삼각기둥은 모두 4개이므로 두 사면체 $\displaystyle EFGD$ 와 사면체 $\displaystyle AHJE$ 로부터 얻어지는 삼각기둥의 부피는 $\displaystyle \begin{aligned}&\text{삼각형 }EFG\text{ 넓이}\times\text{높이(사면체 }EFGD\text{의 높이)}\times\frac12\\&=\left[S\times\frac14\right]\times\left[h\times\frac12\right]\times\frac12\\&=S\times h\times\frac1{4^2}\times1/4^2\end{aligned}$ Correction. 두 번째 분할의 부피 합은 $\displaystyle Sh/4^2$ 이다. 원문 마지막의 $\displaystyle \times1/4^2$ 가 중복되어 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이와 같은 과정을 반복하여 얻어진 모든 삼가기둥의 부피의 합은 $\displaystyle \left(\frac14+\frac1{4^2}+\frac1{4^3}+\cdots\right)\times\text{밑면(삼각형)의 넓이}\times\text{높이}$ 이다.

【2-4】 정팔면체는 다음과 같다.

왼쪽은 정팔면체, 오른쪽은 두 꼭짓점 A와 B를 연결하여 네 사면체로 나눈 도형

정팔면체의 한 삼각형으로부터 마주보이는 반대편 삼각형은 평행하다. 위 오른쪽 그림과 같이 정팔면체에 두 점 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 를 연결하면, 분할에 의해 사면체 $\displaystyle CDB-A$ , $\displaystyle CFB-A$ , $\displaystyle BED-A$ , $\displaystyle BEF-A$ 의 모두 4개의 사면체를 얻는다. 정팔면체라는 조건으로부터 모든 사면체의 부피는 같으며 $\displaystyle \text{삼각형의 넓이}\times\text{높이}\times\frac13\times4=\text{삼각형의 넓이}\times\text{높이}\times\frac43$ 이다.

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