자연계열 2번

【2-2】 함수 $\displaystyle \phi$가 단조증가임을 보이기 위하여 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle \phi(n)<\phi(n+1)$또는 동치인 부등식$\displaystyle na^{n+1}-(n+1)a^n+1>0\qquad\text{(1)}$가 성립함을 보이면 된다. $\displaystyle n=1$일 때는$\displaystyle a^2-2a+1=(a-1)^2>0$이므로 (1)이 당연히 성립한다. 부등식 (1)이 어떤 자연수 $\displaystyle n=k$에 대하여 성립한다고 가정하자. 그러면$\displaystyle \begin{aligned}&(k+1)a^{k+2}-(k+2)a^{k+1}+1\\&=\{ka^{k+1}-(k+1)a^k+1\}a+a^{k+2}-a^{k+1}-a+1\\&>a^{k+2}-a^{k+1}-a+1=(a-1)(a^{k+1}-1)>0\end{aligned}$이므로 (1)이 $\displaystyle n=k+1$에 대해서도 성립한다. 따라서 수학적 귀납법에 의하여 부등식 (1)이 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 성립한다. 그러므로 함수 $\displaystyle \phi$는 단조증가함수이고 $\displaystyle m<n$인 임의의 자연수 $\displaystyle m,n$에 대하여$\displaystyle \frac{a^m-1}m<\frac{a^n-1}n\quad\Leftrightarrow\quad a^m-1<\frac mn(a^n-1)$이 성립한다. $\displaystyle a>1$이면 $\displaystyle a^{1/n}>1$이므로 위의 부등식에서 $\displaystyle a$를 $\displaystyle a^{1/n}$으로 바꾸어도 성립한다. 따라서$\displaystyle a^{m/n}-1<\frac mn(a-1)$을 얻는다. $\displaystyle 0<m/n<1$이므로 이것이 원하던 부등식이다.

【2-3】 먼저, 임의의 유리수 $\displaystyle r$에 대하여 다음 부등식을 증명한다.$\displaystyle |a^r-1|\le a^{|r|}-1\qquad\text{(2)}$$\displaystyle r\ge0$이면 $\displaystyle a^r\ge1$이므로 부등식 (2)는 등호로 성립한다. $\displaystyle r<0$라고 하자. 그러면 $\displaystyle a^r<1$이므로 부등식 (2)는 아래의 부등식들과 동치이다.$\displaystyle 1-a^r\le a^{-r}-1\quad\Leftrightarrow\quad a^r+a^{-r}\ge2$그런데, 마지막 부등식은 산술·기하평균 부등식에 의해서 항상 성립한다. 따라서 부등식 (2)도 성립한다. 이제 $\displaystyle r$이 유리수, $\displaystyle \{r_n\}$이 유리수의 수열이고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}r_n=r$이라고 하자. 그러면 임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle r_n-r$이 유리수이므로 유리수 지수에 대한 지수법칙과 부등식 (2)를 이용하면$\displaystyle |a^{r_n}-a^r|=a^r|a^{r_n-r}-1|\le a^r(a^{|r_n-r|}-1)$이다. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}r_n=r$이므로 모든 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle |r_n-r|<1$라고 가정할 수 있다. 그러면 【2-2】에서 증명한 부등식에 의하여$\displaystyle |a^{r_n}-a^r|\le a^r|r_n-r|(a-1)$이 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 성립함을 알 수 있다. 따라서 주어진 힌트에 의하여$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a^{r_n}=a^r$이 성립한다.

【2-4】 (1) 제시문 [라]의 정의가 명확하지 않은 이유: $\displaystyle \lim_{n\to\infty}r_n=x$이고 단조증가하는 유리수의 수열 $\displaystyle \{r_n\}$이 하나만 있는 것이 아니다. 따라서 제시문 [라]의 정의가 타당하려면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}r_n=x$이고 단조증가하는 임의의 유리수의 수열 $\displaystyle \{r_n\}$에 대하여 극한 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a^{r_n}$이 수열 $\displaystyle \{r_n\}$에 관계없는 실수여야 한다. 그러나 이것은 유리수 지수에 대한 제시문 [다]로부터 자명하게 알 수 있는 사실이 아니므로 제시문 [라]의 정의는 명확하지 않다.(2) 제시문 [라]의 정의가 타당하다는 것의 증명: 정의의 타당성을 증명하기 위해서는, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}r_n=x$이고 단조증가하는 임의의 유리수의 수열 $\displaystyle \{r_n\}$에 대하여 극한 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a^{r_n}$이 수열 $\displaystyle \{r_n\}$에 관계없는 실수임을 보여야 한다. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}r_n=\lim_{n\to\infty}s_n=x$이고 단조증가하는 두 개의 유리수의 수열 $\displaystyle \{r_n\}$, $\displaystyle \{s_n\}$을 생각하자. 그러면 제시문 [라]에 의하여 두 극한 $\displaystyle L_1=\lim_{n\to\infty}a^{r_n}$, $\displaystyle L_2=\lim_{n\to\infty}a^{s_n}$이 존재한다. 또한, $\displaystyle \{r_n-s_n\}$은 유리수의 수열이고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(r_n-s_n)=x-x=0$이므로 【2-3】의 결과에 의하여$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a^{r_n-s_n}=a^0=1$이다. 따라서 유리수 지수에 대한 지수법칙을 이용하면$\displaystyle L_1-L_2=\lim_{n\to\infty}[a^{r_n}-a^{s_n}]=\lim_{n\to\infty}[a^{r_n-s_n}-1]a^{s_n}=0\cdot L_2=0$이므로$\displaystyle L_1=L_2$이다. 그러므로 제시문 [라]의 정의가 타당하다.