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자연계열 2번

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서강대 2014학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/sogang/2014su/jayeon_2

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문제

<문제 2 : 50%, 글자 제한 없음> 다음 글을 읽고, 물음에 답하라.

[가] 양의 실수 a\displaystyle a에 대하여 정수 n\displaystyle n을 지수로 가지는 a\displaystyle a의 거듭제곱 an\displaystyle a^n을 다음과 같이 정의한다.an={a×⋯×a(n번),n>01,n=0(1/a)×⋯×(1/a)(∣n∣번),n<0\displaystyle a^n=\begin{cases}a\times\cdots\times a\quad(n\text{번}),&n>0\\1,&n=0\\(1/a)\times\cdots\times(1/a)\quad(|n|\text{번}),&n<0\end{cases}그러면 임의의 양의 실수 a,b\displaystyle a,b와 정수 m,n\displaystyle m,n에 대하여 지수법칙am+n=aman,(an)m=anm,(ab)n=anbn\displaystyle a^{m+n}=a^ma^n,\quad(a^n)^m=a^{nm},\quad(ab)^n=a^nb^n이 성립한다. 또한 a>1\displaystyle a>1일 때, n>0\displaystyle n>0이면 an>1\displaystyle a^n>1이고 n<0\displaystyle n<0이면 an<1\displaystyle a^n<1이다.

[나] 양의 실수 a\displaystyle a와 자연수 n\displaystyle n에 대하여 xn=a\displaystyle x^n=a를 만족하는 양의 실수 x\displaystyle x는 오직 하나 존재하며 이것을 a\displaystyle a의 양의 n\displaystyle n제곱근이라고 하고 x=an\displaystyle x=\sqrt[n]a라고 나타낸다. 정수 지수에 대한 지수법칙을 이용하여 임의의 양의 실수 a,b\displaystyle a,b와 자연수 m,n,k\displaystyle m,n,k에 대하여anm=amn,amknk=amn,abn=anbn\displaystyle \sqrt[m]{\sqrt[n]a}=\sqrt[mn]a,\quad\sqrt[nk]{a^{mk}}=\sqrt[n]{a^m},\quad\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]a\sqrt[n]b가 성립하는 것을 보일 수 있다. 또한 a>1\displaystyle a>1이면, 임의의 자연수 n\displaystyle n에 대하여 an>1\displaystyle \sqrt[n]a>1이다.

[다] a\displaystyle a를 양의 실수라고 하자. 임의의 유리수 r\displaystyle r에 대하여 r=m/n\displaystyle r=m/n인 정수 m\displaystyle m과 자연수 n\displaystyle n이 항상 존재하므로 유리수 r\displaystyle r을 지수로 가지는 수 ar\displaystyle a^r을ar=amn⋯(2)\displaystyle a^r=\sqrt[n]{a^m}\qquad\cdots\text{(2)}으로 정의할 수 있다. 그러나 이 정의는 명확하지 않다. 왜냐하면 유리수 r\displaystyle r을 분수로 표현하는 방법이 한 가지가 아니기 때문이다. 보다 자세히 말하면 r=m/n\displaystyle r=m/n을 만족하는 정수 m\displaystyle m과 자연수 n\displaystyle n의 쌍 (m,n)\displaystyle (m,n)이 무한히 많이 있으며 (2)의 우변이 r=m/n\displaystyle r=m/n인 쌍 (m,n)\displaystyle (m,n)에 따라서 다른 값이 될 수도 있기 때문이다. 사실 ar\displaystyle a^r에 대한 위의 정의는 타당하다. 이를 보이기 위하여 정수 m,k\displaystyle m,k와 자연수 n,l\displaystyle n,l에 대하여r=mn=kl\displaystyle r=\frac mn=\frac kl으로 쓸 수 있다고 하자. 그러면 ml=nk\displaystyle ml=nk이므로 정수 지수에 대한 지수법칙에 의하여(amn)nl=(am)l=aml=ank=(ak)n=(akl)nl\displaystyle \left(\sqrt[n]{a^m}\right)^{nl}=(a^m)^l=a^{ml}=a^{nk}=(a^k)^n=\left(\sqrt[l]{a^k}\right)^{nl}이고 따라서amn=akl\displaystyle \sqrt[n]{a^m}=\sqrt[l]{a^k}이다. 이로부터 (2)의 우변이 r\displaystyle r의 분수 표현에 관계없이 일정한 값이 된다는 것을 알 수 있다. 그러므로 유리수 r\displaystyle r을 지수로 하는 ar\displaystyle a^r에 대한 정의 (2)가 타당하다. 제시문 [가]와 [나]의 지수법칙과 제곱근의 성질을 이용하여 임의의 양의 실수 a,b\displaystyle a,b와 유리수 r,s\displaystyle r,s에 대한 다음 지수법칙을 증명할 수 있다.ar+s=aras,(ar)s=ars,(ab)r=arbr\displaystyle a^{r+s}=a^ra^s,\quad(a^r)^s=a^{rs},\quad(ab)^r=a^rb^r또한 a>1\displaystyle a>1이고 r\displaystyle r이 유리수일 때, r>0\displaystyle r>0이면 ar>1\displaystyle a^r>1이고 r<0\displaystyle r<0이면 ar<1\displaystyle a^r<1이 되는 것도 보일 수 있다.

[라] a\displaystyle a를 양의 실수라고 하자. x\displaystyle x가 임의의 무리수이면 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 rn<rn+1\displaystyle r_n<r_{n+1}이고 lim⁡n→∞rn=x\displaystyle \lim_{n\to\infty}r_n=x인 유리수의 수열 {rn}\displaystyle \{r_n\}을 항상 찾을 수 있다. 이 때 유리수 rn\displaystyle r_n을 지수로 가지는 수들의 수열 {arn}\displaystyle \{a^{r_n}\}이 어떤 실수에 수렴한다는 것이 알려져 있다. 따라서 무리수 x\displaystyle x를 지수로 가지는 수 ax\displaystyle a^x을 다음과 같이 정의한다.ax=lim⁡n→∞arn\displaystyle a^x=\lim_{n\to\infty}a^{r_n}

【2-1】 a\displaystyle a를 양의 실수라고 하자. 임의의 유리수 r\displaystyle r에 대하여 r=m/n\displaystyle r=m/n을 만족하는 서로소인 정수 m\displaystyle m과 자연수 n\displaystyle n은 오직 하나 존재한다. 따라서 제시문 [다]의 정의와 달리,ar=amn(r=mn, m과 n은 서로소)\displaystyle a^r=\sqrt[n]{a^m}\quad\left(r=\frac mn,\ m\text{과 }n\text{은 서로소}\right)으로 정의하면 ar\displaystyle a^r을 명확하게 정의할 수 있다. 이 정의를 이용하여, 임의의 양의 실수 a\displaystyle a와 유리수 r,s\displaystyle r,s에 대하여ar+s=aras\displaystyle a^{r+s}=a^ra^s가 성립함을 보여라.

【2-2】 a\displaystyle a를 a>1\displaystyle a>1인 실수라고 하자. 함수 ϕ:N→R\displaystyle \phi:\mathbb N\to\mathbb R을 아래와 같이 정의한다.ϕ(n)=an−1n(n∈N)\displaystyle \phi(n)=\frac{a^n-1}n\quad(n\in\mathbb N)함수 ϕ\displaystyle \phi가 단조증가(즉, m<n\displaystyle m<n이면 ϕ(m)<ϕ(n)\displaystyle \phi(m)<\phi(n))임을 수학적 귀납법으로 증명하고, 이를 이용하여 0<r<1\displaystyle 0<r<1인 임의의 유리수 r\displaystyle r에 대하여ar−1<r(a−1)\displaystyle a^r-1<r(a-1)이 성립함을 보여라. 여기서 N\displaystyle \mathbb N과 R\displaystyle \mathbb R은 각각 자연수의 집합과 실수의 집합을 나타낸다.

【2-3】 a\displaystyle a를 a>1\displaystyle a>1인 실수라고 하자. 【2-2】의 결과를 이용하여 r\displaystyle r이 유리수, {rn}\displaystyle \{r_n\}이 유리수의 수열이고 lim⁡n→∞rn=r\displaystyle \lim_{n\to\infty}r_n=r이면 lim⁡n→∞arn=ar\displaystyle \lim_{n\to\infty}a^{r_n}=a^r임을 보여라.(힌트: 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 ∣an−L∣≤bn\displaystyle |a_n-L|\le b_n이고 lim⁡n→∞bn=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=0이면 lim⁡n→∞an=L\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=L이다.)

【2-4】 제시문 [라]에서 제안된 무리수 x\displaystyle x에 대한 ax\displaystyle a^x의 정의가 명확하지 않은 이유를 밝혀라. 그럼에도 불구하고 이 정의가 타당함을 【2-3】의 결과에 근거하여 설명하여라.

해설강의 준비중

서강대 2014학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/sogang/2014su/jayeon_2

출제 및 채점기준 · 고교 교과과정에서 도입되는 지수의 정수, 유리수 및 실수로의 확장과 이와 관련하여 다른 수학 분야에서도 흔히 나오는 정의의 명확성 또는 모호성에 대한 이해를 묻는 문제임. 지수법칙과 거듭제곱근의 성질 등의 기본적인 사실들을 활용하는 능력과 여러 가지 부등식을 이용하여 수열의 수렴을 판단하는 능력 등도 함께 평가함.

【2-1】 유리수 r,s\displaystyle r,s에 대하여 r=m/n,s=k/l\displaystyle r=m/n,s=k/l이고 서로소인 정수 m\displaystyle m과 자연수 n\displaystyle n와 서로소인 정수 k\displaystyle k와 자연수 l\displaystyle l을 찾자. 그러면 제시문 [나]와 [가]의 제곱근의 성질과 지수법칙에 의하여aras=amnakl=amlnlanknl=amlanknl=aml+nknl\displaystyle a^ra^s=\sqrt[n]{a^m}\sqrt[l]{a^k}=\sqrt[nl]{a^{ml}}\sqrt[nl]{a^{nk}}=\sqrt[nl]{a^{ml}a^{nk}}=\sqrt[nl]{a^{ml+nk}}이다. 여기서, 물론r+s=mn+kl=ml+nknl\displaystyle r+s=\frac mn+\frac kl=\frac{ml+nk}{nl}이지만 ml+nk\displaystyle ml+nk와 nl\displaystyle nl이 서로소가 아닐 수도 있기 때문에ar+s=amlanknl\displaystyle a^{r+s}=\sqrt[nl]{a^{ml}a^{nk}}이 성립하는 것이 정의에 의해서 당연한 것은 아니다. 그럼에도 불구하고 이것이 사실임을 보일 수 있다. 문제에서 제시된 ar+s\displaystyle a^{r+s}의 정의를 이용하기 위하여r+s=ml+nknl=pq\displaystyle r+s=\frac{ml+nk}{nl}=\frac pq이고 서로 소인 정수 p\displaystyle p와 자연수 q\displaystyle q를 찾자. 그러면 제시문 [가]의 지수법칙에 의하여(apq)nlq=(ap)nl=anlp=a(ml+nk)q=(aml+nknl)nlq\displaystyle \left(\sqrt[q]{a^p}\right)^{nlq}=(a^p)^{nl}=a^{nlp}=a^{(ml+nk)q}=\left(\sqrt[nl]{a^{ml+nk}}\right)^{nlq}이므로ar+s=apq=aml+nknl=aras\displaystyle a^{r+s}=\sqrt[q]{a^p}=\sqrt[nl]{a^{ml+nk}}=a^ra^s이다.

【2-2】 함수 ϕ\displaystyle \phi가 단조증가임을 보이기 위하여 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여ϕ(n)<ϕ(n+1)\displaystyle \phi(n)<\phi(n+1)또는 동치인 부등식nan+1−(n+1)an+1>0(1)\displaystyle na^{n+1}-(n+1)a^n+1>0\qquad\text{(1)}가 성립함을 보이면 된다. n=1\displaystyle n=1일 때는a2−2a+1=(a−1)2>0\displaystyle a^2-2a+1=(a-1)^2>0이므로 (1)이 당연히 성립한다. 부등식 (1)이 어떤 자연수 n=k\displaystyle n=k에 대하여 성립한다고 가정하자. 그러면(k+1)ak+2−(k+2)ak+1+1={kak+1−(k+1)ak+1}a+ak+2−ak+1−a+1>ak+2−ak+1−a+1=(a−1)(ak+1−1)>0\displaystyle \begin{aligned}&(k+1)a^{k+2}-(k+2)a^{k+1}+1\\&=\{ka^{k+1}-(k+1)a^k+1\}a+a^{k+2}-a^{k+1}-a+1\\&>a^{k+2}-a^{k+1}-a+1=(a-1)(a^{k+1}-1)>0\end{aligned}이므로 (1)이 n=k+1\displaystyle n=k+1에 대해서도 성립한다. 따라서 수학적 귀납법에 의하여 부등식 (1)이 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 성립한다. 그러므로 함수 ϕ\displaystyle \phi는 단조증가함수이고 m<n\displaystyle m<n인 임의의 자연수 m,n\displaystyle m,n에 대하여am−1m<an−1n⇔am−1<mn(an−1)\displaystyle \frac{a^m-1}m<\frac{a^n-1}n\quad\Leftrightarrow\quad a^m-1<\frac mn(a^n-1)이 성립한다. a>1\displaystyle a>1이면 a1/n>1\displaystyle a^{1/n}>1이므로 위의 부등식에서 a\displaystyle a를 a1/n\displaystyle a^{1/n}으로 바꾸어도 성립한다. 따라서am/n−1<mn(a−1)\displaystyle a^{m/n}-1<\frac mn(a-1)을 얻는다. 0<m/n<1\displaystyle 0<m/n<1이므로 이것이 원하던 부등식이다.

【2-3】 먼저, 임의의 유리수 r\displaystyle r에 대하여 다음 부등식을 증명한다.∣ar−1∣≤a∣r∣−1(2)\displaystyle |a^r-1|\le a^{|r|}-1\qquad\text{(2)}r≥0\displaystyle r\ge0이면 ar≥1\displaystyle a^r\ge1이므로 부등식 (2)는 등호로 성립한다. r<0\displaystyle r<0라고 하자. 그러면 ar<1\displaystyle a^r<1이므로 부등식 (2)는 아래의 부등식들과 동치이다.1−ar≤a−r−1⇔ar+a−r≥2\displaystyle 1-a^r\le a^{-r}-1\quad\Leftrightarrow\quad a^r+a^{-r}\ge2그런데, 마지막 부등식은 산술·기하평균 부등식에 의해서 항상 성립한다. 따라서 부등식 (2)도 성립한다. 이제 r\displaystyle r이 유리수, {rn}\displaystyle \{r_n\}이 유리수의 수열이고 lim⁡n→∞rn=r\displaystyle \lim_{n\to\infty}r_n=r이라고 하자. 그러면 임의의 자연수 n\displaystyle n에 대하여 rn−r\displaystyle r_n-r이 유리수이므로 유리수 지수에 대한 지수법칙과 부등식 (2)를 이용하면∣arn−ar∣=ar∣arn−r−1∣≤ar(a∣rn−r∣−1)\displaystyle |a^{r_n}-a^r|=a^r|a^{r_n-r}-1|\le a^r(a^{|r_n-r|}-1)이다. lim⁡n→∞rn=r\displaystyle \lim_{n\to\infty}r_n=r이므로 모든 n\displaystyle n에 대하여 ∣rn−r∣<1\displaystyle |r_n-r|<1라고 가정할 수 있다. 그러면 【2-2】에서 증명한 부등식에 의하여∣arn−ar∣≤ar∣rn−r∣(a−1)\displaystyle |a^{r_n}-a^r|\le a^r|r_n-r|(a-1)이 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 성립함을 알 수 있다. 따라서 주어진 힌트에 의하여lim⁡n→∞arn=ar\displaystyle \lim_{n\to\infty}a^{r_n}=a^r이 성립한다.

【2-4】 (1) 제시문 [라]의 정의가 명확하지 않은 이유: lim⁡n→∞rn=x\displaystyle \lim_{n\to\infty}r_n=x이고 단조증가하는 유리수의 수열 {rn}\displaystyle \{r_n\}이 하나만 있는 것이 아니다. 따라서 제시문 [라]의 정의가 타당하려면 lim⁡n→∞rn=x\displaystyle \lim_{n\to\infty}r_n=x이고 단조증가하는 임의의 유리수의 수열 {rn}\displaystyle \{r_n\}에 대하여 극한 lim⁡n→∞arn\displaystyle \lim_{n\to\infty}a^{r_n}이 수열 {rn}\displaystyle \{r_n\}에 관계없는 실수여야 한다. 그러나 이것은 유리수 지수에 대한 제시문 [다]로부터 자명하게 알 수 있는 사실이 아니므로 제시문 [라]의 정의는 명확하지 않다.(2) 제시문 [라]의 정의가 타당하다는 것의 증명: 정의의 타당성을 증명하기 위해서는, lim⁡n→∞rn=x\displaystyle \lim_{n\to\infty}r_n=x이고 단조증가하는 임의의 유리수의 수열 {rn}\displaystyle \{r_n\}에 대하여 극한 lim⁡n→∞arn\displaystyle \lim_{n\to\infty}a^{r_n}이 수열 {rn}\displaystyle \{r_n\}에 관계없는 실수임을 보여야 한다. lim⁡n→∞rn=lim⁡n→∞sn=x\displaystyle \lim_{n\to\infty}r_n=\lim_{n\to\infty}s_n=x이고 단조증가하는 두 개의 유리수의 수열 {rn}\displaystyle \{r_n\}, {sn}\displaystyle \{s_n\}을 생각하자. 그러면 제시문 [라]에 의하여 두 극한 L1=lim⁡n→∞arn\displaystyle L_1=\lim_{n\to\infty}a^{r_n}, L2=lim⁡n→∞asn\displaystyle L_2=\lim_{n\to\infty}a^{s_n}이 존재한다. 또한, {rn−sn}\displaystyle \{r_n-s_n\}은 유리수의 수열이고 lim⁡n→∞(rn−sn)=x−x=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}(r_n-s_n)=x-x=0이므로 【2-3】의 결과에 의하여lim⁡n→∞arn−sn=a0=1\displaystyle \lim_{n\to\infty}a^{r_n-s_n}=a^0=1이다. 따라서 유리수 지수에 대한 지수법칙을 이용하면L1−L2=lim⁡n→∞[arn−asn]=lim⁡n→∞[arn−sn−1]asn=0⋅L2=0\displaystyle L_1-L_2=\lim_{n\to\infty}[a^{r_n}-a^{s_n}]=\lim_{n\to\infty}[a^{r_n-s_n}-1]a^{s_n}=0\cdot L_2=0이므로L1=L2\displaystyle L_1=L_2이다. 그러므로 제시문 [라]의 정의가 타당하다.

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