자연계열 1번

【1-2】 $\displaystyle (a,b,c)$를 원시피타고라스 수라고 하고 $\displaystyle a$를 2의 배수라고 하자. 양의 $\displaystyle a/c$와 $\displaystyle b/c$는 유리수로서 $\displaystyle (a/c)^2+(b/c)^2=1$이다. 제시문 [다]로부터 적당한 유리수 $\displaystyle -1<t<0$에 대해$\displaystyle \frac ac=\frac{-2t}{1+t^2},\quad\frac bc=\frac{1-t^2}{1+t^2}$이다. 유리수 $\displaystyle t$를 $\displaystyle t=-n/m$이라 놓자. 여기서 $\displaystyle m,n$은 서로소인 자연수 $\displaystyle n<m$이다. 그러면$\displaystyle \frac ac=\frac{2mn}{m^2+n^2},\quad\frac bc=\frac{m^2-n^2}{m^2+n^2}$이다. $\displaystyle a$와 $\displaystyle c$가 서로소이고 $\displaystyle a$는 2의 배수이므로 $\displaystyle a/2$와 $\displaystyle c$도 서로소이다. 문제 [1-1]로부터 $\displaystyle mn$과 $\displaystyle m^2+n^2$은 서로소이므로 $\displaystyle a/2=mn,b=m^2-n^2$이다. 따라서 문제의 조건을 만족하는 자연수 $\displaystyle m$과 $\displaystyle n$이 존재한다.

【1-3】 $\displaystyle (1,0)$을 지나는 직선은 $\displaystyle y=t(x-1)$이다. 이 직선은 단위원 $\displaystyle x^2+y^2=1$과 $\displaystyle (1,0)$ 이외의 다른 점에서 항상 만난다. 두 방정식을 연립하여 $\displaystyle x$에 관해 정리하면, $\displaystyle (t^2+1)x^2-2t^2x+t^2-1=0$이므로$\displaystyle x=1\ \text{또는}\ x=\frac{t^2-1}{t^2+1}\quad\text{(}t\text{는 실수)}$이다. $\displaystyle x=(t^2-1)/(t^2+1)$일 때 $\displaystyle y=-2t/(t^2+1)$이다. 따라서$\displaystyle x=\frac{t^2-1}{t^2+1},\quad y=\frac{-2t}{t^2+1}\quad\text{(}t\text{는 실수)}$그리고 임의의 실수 $\displaystyle t$에 대해 $\displaystyle x=(t^2-1)/(t^2+1)\ne1$이므로 $\displaystyle (1,0)$을 제외한 단위원의 모든 점을 표현한다.

【1-4】 $\displaystyle N(0,0,1)$과 $\displaystyle (p,q,r)$을 지나는 직선의 방정식은$\displaystyle \frac xp=\frac yq=\frac{z-1}{r-1}\ \text{또는}\ x=pt,\ y=qt,\ z=(r-1)t+1\qquad\text{(1)}$이고 $\displaystyle z=(r-1)t+1=0$일 때 직선은 $\displaystyle (u,v,0)$를 지난다. 이때 $\displaystyle t=1/(1-r)$이고$\displaystyle u=\frac p{1-r},\quad v=\frac q{1-r}$가 된다. 그리고 $\displaystyle p,q,r$이 유리수이므로 $\displaystyle u,v$도 유리수이다. $\displaystyle p^2+q^2+r^2=1$이고 $\displaystyle t=1/(1-r)$이므로 식 (1)로부터$\displaystyle \frac{u^2}{t^2}+\frac{v^2}{t^2}+\frac{(t-1)^2}{t^2}=1\quad\text{즉}\quad t=\frac{u^2+v^2+1}2$이다. 그러므로$\displaystyle p=\frac ut=\frac{2u}{u^2+v^2+1},\quad q=\frac vt=\frac{2v}{u^2+v^2+1},\quad r=\frac{t-1}t=\frac{u^2+v^2-1}{u^2+v^2+1}$이다. 이 식들로부터 $\displaystyle u,v$가 유리수 이면 $\displaystyle p,q,r$도 유리수임을 알 수 있다.