서강대 2014학년도 수시 자연계열 1번 해설

<문제 1 : 50%, 글자 제한 없음> 다음 글을 읽고, 물음에 답하라.

[가] 방정식 $\displaystyle a^2+b^2=c^2$ 을 만족하는 자연수의 순서쌍 $\displaystyle (a,b,c)$ 를 피타고라스 수라고 말한다. 특히 $\displaystyle a,b,c$ 가 서로소일 때 $\displaystyle (a,b,c)$ 를 원시 피타고라스 수라고 한다. 만약 $\displaystyle (a,b,c)$ 가 원시 피타고라스 수이면 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle c$ 는 서로소이고 $\displaystyle a$ 또는 $\displaystyle b$ 중에 하나는 반드시 2의 배수이어야 한다. 임의의 피타고라스 수는 원시 피타고라스 수의 자연수 배로 쓸 수 있다. 원시 피타고라스 수를 찾는 다양한 방법들이 고대 그리스 시대부터 많이 연구되었다. 피타고라스 수 $\displaystyle (a,b,c)$ 에 대해 $\displaystyle x=a/c,y=b/c$ 로 놓으면 $\displaystyle x,y$ 는 양의 유리수이고 $\displaystyle x^2+y^2=1$ 이다. 역으로 $\displaystyle x,y$ 가 양의 유리수이고 $\displaystyle x^2+y^2=1$ 을 만족하면, 적당한 자연수 $\displaystyle a,b,c$ 에 대하여 $\displaystyle x=a/c,y=b/c$ 이고 $\displaystyle a^2+b^2=c^2$ 이다. 따라서 피타고라스 수를 찾기 위해서 중심이 원점인 단위원 위의 양의 유리수로 이루어진 순서쌍 $\displaystyle (x,y)$ 를 구하는 문제를 생각한다. $\displaystyle (p,q)$ 를 단위원 위의 양의 유리수 순서쌍이라고 하자. 그리고 $\displaystyle (0,1)$ 과 $\displaystyle (p,q)$ 를 지나는 직선 $\displaystyle y=tx+1$ 을 생각하면 기울기 $\displaystyle t$ 는 $\displaystyle -1<t<0$ 인 유리수이다. (【그림 1】 참고)

[나] 임의의 실수 $\displaystyle t$ 에 대하여 연립방정식 $\displaystyle x^2+y^2=1,\ y=tx+1$ 의 해 $\displaystyle (x,y)$ 를 구하자. 먼저 $\displaystyle y$ 를 소거하면 $\displaystyle x^2+(tx+1)^2=1$ , 즉 $\displaystyle (1+t^2)x^2+2tx=0$ 이다. 좌변을 인수분해하면 $\displaystyle x[(1+t^2)x+2t]=0$ 이므로 $\displaystyle x=0$ 또는 $\displaystyle x=-2t/(1+t^2)$ 이다. 따라서 구하는 해는 $\displaystyle x=0,y=1$ 또는 $\displaystyle x=-2t/(1+t^2),y=(1-t^2)/(1+t^2)$ 이다.

[다] 제시문 [가]와 [나]로부터, $\displaystyle x^2+y^2=1$ 을 만족하는 모든 양의 유리수 $\displaystyle x$ 와 $\displaystyle y$ 는 $\displaystyle x(t)=\frac{-2t}{1+t^2},\quad y(t)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ 의 매개변수 방정식으로 나타난다는 것을 알 수 있다. 여기서 $\displaystyle t$ 는 $\displaystyle -1<t<0$ 인 유리수이다.

[라] 제시문 [가]와 유사한 방법에 의해서 $\displaystyle a^2+b^2+c^2=d^2$ 을 만족하는 자연수의 순서쌍 $\displaystyle (a,b,c,d)$ 를 구하는 문제로부터 단위구면 $\displaystyle x^2+y^2+z^2=1$ 위의 양의 유리수 순서쌍 $\displaystyle (p,q,r)$ 을 찾는 문제를 생각할 수 있다. 제시문 [나]의 방법을 확장하여 $\displaystyle (p,q,r)$ 을 구하고자 한다. 【그림 2】처럼 구면의 북극점 $\displaystyle N(0,0,1)$ 을 지나고 점 $\displaystyle P(p,q,r)$ 을 지나는 직선이 구면의 적도를 지나는 $\displaystyle xy$ 평면과 만나는 점을 $\displaystyle P^{\prime}(u,v,0)$ 라고 하면 다음 식 (1)을 만족한다. $\displaystyle p=\frac{2u}{u^2+v^2+1},\quad q=\frac{2v}{u^2+v^2+1},\quad r=\frac{u^2+v^2-1}{u^2+v^2+1}\quad\cdots\text{(1)}$

【그림 2】 구면의 북극점 N과 P를 잇는 직선의 xy평면 위 교점 P′

【1-1】 $\displaystyle m,n$ 이 서로소인 자연수이면 $\displaystyle mn$ 과 $\displaystyle m^2+n^2$ 이 서로소임을 보여라.

【1-2】 제시문 [가], [다]와 【1-1】을 이용하여, $\displaystyle (a,b,c)$ 가 원시 피타고라스 수이고 $\displaystyle a$ 가 2의 배수이면 $\displaystyle a=2mn,b=m^2-n^2,c=m^2+n^2$ 인 자연수 $\displaystyle m,n$ 이 존재함을 보여라.

【1-3】 임의의 실수 $\displaystyle t$ 에 대한 매개변수방정식 $\displaystyle x(t)=\frac{-2t}{1+t^2},\quad y(t)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ 은 점 $\displaystyle (0,-1)$ 을 제외한 단위원 상의 모든 점을 표현한다. 함수 $\displaystyle x(t),y(t)$ 는 변수 $\displaystyle t$ 와 상수의 사칙연산에 의해 표현되므로 $\displaystyle t$ 에 관한 유리함수이다. 제시문 [나]를 참고하여 점 $\displaystyle (1,0)$ 을 제외하고 단위원 상의 모든 점 $\displaystyle (x,y)$ 를 표현하는 유리함수 $\displaystyle x(t)$ 와 $\displaystyle y(t)$ 를 구하여라.

【1-4】 제시문 [라]에서 (1)이 성립함을 증명하고 $\displaystyle u,v$ 가 유리수임을 보여라.

서강대 2014학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/sogang/2014su/jayeon_1

출제 및 채점기준 · 대수와 기하와의 관계를 이해하고 평면에서의 수학적 논리를 공간좌표계로 확장할 수 있는지 알아보고 좌표계를 이용하여 대수적인 문제를 기하적으로 해결 가능한 예와 기하적인 문제를 대수적으로 해결 가능한 예를 출제하여, 학생들이 기본 개념에 대한 이해 및 응용력을 평가하고자 했음

【1-1】 $\displaystyle p\ge2$ 인 소수가 $\displaystyle mn$ 과 $\displaystyle m^2+n^2$ 을 나눈다고 가정하자. $\displaystyle p$ 가 소수이므로 $\displaystyle p$ 는 $\displaystyle m$ 또는 $\displaystyle n$ 둘 중의 하나를 나눈다. $\displaystyle p$ 가 $\displaystyle m$ 을 나눈다고 가정할 수 있다. 즉 적당한 자연수 $\displaystyle \alpha$ 에 대하여 $\displaystyle m=p\alpha$ 라고 쓸 수 있다. 또 $\displaystyle p$ 가 $\displaystyle m^2+n^2$ 을 나누므로 적당한 자연수 $\displaystyle \beta$ 가 존재하여 $\displaystyle m^2+n^2=p\beta$ 라고 쓸 수 있다. 따라서 $\displaystyle p^2\alpha^2+n^2=p\beta$ 이므로 $\displaystyle n^2=p(\beta-p\alpha^2)$ 이다. $\displaystyle p$ 는 $\displaystyle n^2$ 즉 $\displaystyle n$ 을 나누어 $\displaystyle m$ 과 $\displaystyle n$ 이 서로소라는 가정에 모순이다. 그러므로 $\displaystyle mn$ 과 $\displaystyle m^2+n^2$ 은 서로소이다.

【1-2】 $\displaystyle (a,b,c)$ 를 원시피타고라스 수라고 하고 $\displaystyle a$ 를 2의 배수라고 하자. 양의 $\displaystyle a/c$ 와 $\displaystyle b/c$ 는 유리수로서 $\displaystyle (a/c)^2+(b/c)^2=1$ 이다. 제시문 [다]로부터 적당한 유리수 $\displaystyle -1<t<0$ 에 대해 $\displaystyle \frac ac=\frac{-2t}{1+t^2},\quad\frac bc=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ 이다. 유리수 $\displaystyle t$ 를 $\displaystyle t=-n/m$ 이라 놓자. 여기서 $\displaystyle m,n$ 은 서로소인 자연수 $\displaystyle n<m$ 이다. 그러면 $\displaystyle \frac ac=\frac{2mn}{m^2+n^2},\quad\frac bc=\frac{m^2-n^2}{m^2+n^2}$ 이다. $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle c$ 가 서로소이고 $\displaystyle a$ 는 2의 배수이므로 $\displaystyle a/2$ 와 $\displaystyle c$ 도 서로소이다. 문제 [1-1]로부터 $\displaystyle mn$ 과 $\displaystyle m^2+n^2$ 은 서로소이므로 $\displaystyle a/2=mn,b=m^2-n^2$ 이다. 따라서 문제의 조건을 만족하는 자연수 $\displaystyle m$ 과 $\displaystyle n$ 이 존재한다.

【1-3】 $\displaystyle (1,0)$ 을 지나는 직선은 $\displaystyle y=t(x-1)$ 이다. 이 직선은 단위원 $\displaystyle x^2+y^2=1$ 과 $\displaystyle (1,0)$ 이외의 다른 점에서 항상 만난다. 두 방정식을 연립하여 $\displaystyle x$ 에 관해 정리하면, $\displaystyle (t^2+1)x^2-2t^2x+t^2-1=0$ 이므로 $\displaystyle x=1\ \text{또는}\ x=\frac{t^2-1}{t^2+1}\quad\text{(}t\text{는 실수)}$ 이다. $\displaystyle x=(t^2-1)/(t^2+1)$ 일 때 $\displaystyle y=-2t/(t^2+1)$ 이다. 따라서 $\displaystyle x=\frac{t^2-1}{t^2+1},\quad y=\frac{-2t}{t^2+1}\quad\text{(}t\text{는 실수)}$ 그리고 임의의 실수 $\displaystyle t$ 에 대해 $\displaystyle x=(t^2-1)/(t^2+1)\ne1$ 이므로 $\displaystyle (1,0)$ 을 제외한 단위원의 모든 점을 표현한다.

【1-4】 $\displaystyle N(0,0,1)$ 과 $\displaystyle (p,q,r)$ 을 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle \frac xp=\frac yq=\frac{z-1}{r-1}\ \text{또는}\ x=pt,\ y=qt,\ z=(r-1)t+1\qquad\text{(1)}$ 이고 $\displaystyle z=(r-1)t+1=0$ 일 때 직선은 $\displaystyle (u,v,0)$ 를 지난다. 이때 $\displaystyle t=1/(1-r)$ 이고 $\displaystyle u=\frac p{1-r},\quad v=\frac q{1-r}$ 가 된다. 그리고 $\displaystyle p,q,r$ 이 유리수이므로 $\displaystyle u,v$ 도 유리수이다. $\displaystyle p^2+q^2+r^2=1$ 이고 $\displaystyle t=1/(1-r)$ 이므로 식 (1)로부터 $\displaystyle \frac{u^2}{t^2}+\frac{v^2}{t^2}+\frac{(t-1)^2}{t^2}=1\quad\text{즉}\quad t=\frac{u^2+v^2+1}2$ 이다. 그러므로 $\displaystyle p=\frac ut=\frac{2u}{u^2+v^2+1},\quad q=\frac vt=\frac{2v}{u^2+v^2+1},\quad r=\frac{t-1}t=\frac{u^2+v^2-1}{u^2+v^2+1}$ 이다. 이 식들로부터 $\displaystyle u,v$ 가 유리수 이면 $\displaystyle p,q,r$ 도 유리수임을 알 수 있다.

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