공학계열 1번

【1-1】 $\displaystyle \mathrm E_1$으로부터 $\displaystyle \frac\pi2$ 회전하여 얻어진 포물선 $\displaystyle \mathrm E_2$의 방정식은 $\displaystyle \frac{x^2}9+\frac{y^2}{16}=1$로 주어진다.Correction. 회전하여 얻어진 곡선 $\displaystyle E_2$를 설명한 “포물선”은 “타원”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 $\displaystyle y^2=9(1-\frac{x^2}{16})$를 아래와 같이 대입하면 $\displaystyle \frac{x^2}9+\frac1{16}(9(1-\frac{x^2}{16}))=1$, 좀 더 간략히 하면$\displaystyle \Leftrightarrow\frac{x^2}9+\frac9{16}(1-\frac{x^2}{16})=1\Leftrightarrow16x^2+81(1-\frac{x^2}{16})=9\times16$$\displaystyle \Leftrightarrow16^2x^2-81x^2=9\times16^2-81\times16\Leftrightarrow175x^2=9\times16\times7\Leftrightarrow x=\pm\frac{12}5$조건에 의하여 $\displaystyle x>0$이므로 $\displaystyle x_1=\frac{12}5$이다.따라서 $\displaystyle y^2=9(1-\frac{x^2}{16})$에 이를 대입하면 $\displaystyle y^2=\frac{3^2\times16^2}{4^2\times5^2}$이므로 $\displaystyle y=\pm\frac{12}5$. $\displaystyle y>0$이므로 $\displaystyle y_1=\frac{12}5$.따라서 점 $\displaystyle \mathrm P(\frac{12}5,\frac{12}5)$을 얻는다.타원 $\displaystyle \mathrm E_1$위의 점 $\displaystyle \mathrm P(\frac{12}5,\frac{12}5)$에서의 접선의 방정식은 공식에 의하여 $\displaystyle \frac{\frac{12}5x}{16}+\frac{\frac{12}5y}9=1$이다. 이 접선의 기울기 $\displaystyle m_1=-\frac9{16}$이다. 이 직선과 양의 $\displaystyle x$축과 이루는 각을 $\displaystyle \theta_1$이라고 하면 $\displaystyle \tan\theta_1=-\frac9{16}$이 된다.마찬가지 방식으로 타원 $\displaystyle \mathrm E_2$위의 점 $\displaystyle \mathrm P(\frac{12}5,\frac{12}5)$에서 접선의 방정식의 기울기 $\displaystyle m_2=-\frac{16}9$가 된다.두 접선이 이루는 예각을 $\displaystyle \theta$라고 하면 $\displaystyle \theta=\theta_1-\theta_2$를 얻는다.따라서 $\displaystyle \tan\theta=\tan(\theta_1-\theta_2)=\frac{\tan\theta_1-\tan\theta_2}{1+\tan\theta_1\tan\theta_2}=\frac{-9/16-(-16/9)}{1+9/16\times16/9}=\frac12\left(\frac{16^2-9^2}{9\times16}\right)=\frac12\frac{25\times7}{9\times16}$그러므로 $\displaystyle \sqrt{\cot\theta}=\sqrt{\frac{2\times9\times16}{25\times7}}=\frac{12\sqrt2}{5\sqrt7}=\frac{12\sqrt{14}}{35}$.

【1-2】 공통접선의 $\displaystyle y$절편이 양수임을 고려하여, 타원 $\displaystyle \mathrm E_1$에 접하는 기울기가 $\displaystyle m$인 접선의 방정식은 공식에 의하여 $\displaystyle y=mx+\sqrt{m^2\times16+9}$이고 타원 $\displaystyle \mathrm E_2$에 접하는 기울기가 $\displaystyle m$인 접선의 방정식 $\displaystyle y=mx+\sqrt{m^2\times9+16}$이다. 이 두 직선이 서로 같으므로, $\displaystyle y$절편의 값도 동일해야 한다.즉 $\displaystyle 16m^2+9=9m^2+16\Leftrightarrow m^2=1\Leftrightarrow m=\pm1$. 따라서 공통접선의 방정식은 $\displaystyle l_1:y=-x+5$.한편 타원 $\displaystyle \mathrm E_1$위의 점 $\displaystyle \mathrm Q(s_1,t_1)$에서 접하는 직선의 방정식은$\displaystyle \frac{s_1x}{16}+\frac{t_1y}9=1\Leftrightarrow y=-\frac9{16}\frac{s_1}{t_1}x+\frac9{t_1}$이므로 $\displaystyle l_1:y=-x+5$와 비교하면 $\displaystyle s_1=\frac{16}5,t_1=\frac95$이다.즉, $\displaystyle \mathrm Q(s_1,t_1)=\mathrm Q(\frac{16}5,\frac95)$이다.마찬가지로 계산하면 타원 $\displaystyle \mathrm E_2$위의 점 $\displaystyle \mathrm R(s_2,t_2)$에서 접하는 직선의 방정식은$\displaystyle \frac{s_2x}9+\frac{t_2y}{16}=1\Leftrightarrow y=-\frac{16}9\frac{s_2}{t_2}x+\frac{16}{t_2}$이므로 $\displaystyle l_1:y=-x+5$와 비교하면 $\displaystyle s_2=\frac95,t_2=\frac{16}5$이다.즉, $\displaystyle \mathrm R(s_2,t_2)=\mathrm R(\frac95,\frac{16}5)$이다.Q와 R은 직선 $\displaystyle y=x$에 대하여 대칭이다. 또한 $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}$는 $\displaystyle \sqrt{\left(\frac{16-9}5\right)^2+\left(\frac{9-16}5\right)^2}=\frac75\sqrt2$이다.한편, 직선 $\displaystyle \mathrm F^{\prime}\mathrm Q$의 방정식은 $\displaystyle y=\frac9{16+5\sqrt7}(x+\sqrt7)$이고 직선 $\displaystyle \mathrm G^{\prime}\mathrm R$의 방정식은$\displaystyle y=\frac{16+5\sqrt7}9(x-\sqrt7)$이다.Caution. 괄호로 연산의 범위를 분명히 하라: 소문항 1-2에서 직선 G′R의 방정식은 $\displaystyle y=\frac{16+5\sqrt7}{9}x-\sqrt7$이다. 대학 해설처럼 $\displaystyle x-\sqrt7$를 괄호로 묶으면 $\displaystyle -\sqrt7$에도 앞의 계수가 곱해져 다른 직선이 된다. 대학 해설의 이어지는 교점과 삼각형의 넓이는 올바르게 계산되어 있다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.두 직선이 만나는 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle x=\frac{9\sqrt7}{7+5\sqrt7}=\frac{5-\sqrt7}2$이고 $\displaystyle y$좌표도 $\displaystyle y=\frac{5-\sqrt7}2$이 된다.따라서 $\displaystyle \mathrm S=(\frac{5-\sqrt7}2,\frac{5-\sqrt7}2)$원점과 S를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=x$이며 이는 $\displaystyle l_1:y=-x+5$과 수직임을 알 수 있다.따라서 S로부터 직선 $\displaystyle l_1$의 수선의 발은 선분 QR의 중점 $\displaystyle \mathrm M(\frac52,\frac52)$이 된다. $\displaystyle \overline{\mathrm{SM}}=\frac{\sqrt{14}}2$이 되므로, 삼각형의 면적은 $\displaystyle \frac12\frac{7\sqrt2}5\frac{\sqrt{14}}2=\frac{7\sqrt7}{10}$.

【1-3】 $\displaystyle \mathrm E_2$내부에는 속하고 $\displaystyle \mathrm E_1$내부에는 속하지 않는 영역의 면적을 구하는 문제이다. 이중에 1,2사분면에 있는 부분 $\displaystyle A$의 면적을 구하면 된다.$\displaystyle A=\int_{-12/5}^{12/5}\sqrt{16\left(1-\frac{x^2}9\right)}-\sqrt{9\left(1-\frac{x^2}{16}\right)}\,dx=\frac83\int_0^{12/5}\sqrt{9-x^2}\,dx-\frac64\int_0^{12/5}\sqrt{16-x^2}\,dx$우선, 각각의 적분값을 구한 후 간략히 하자. $\displaystyle A_1=\int_0^{12/5}\sqrt{9-x^2}\,dx$라고 하자. 치환 방법을 이용하여 이 값을 구하고자 한다.$\displaystyle x=3\sin\theta\ (0\le\theta\le\pi/2)$라고 하면, $\displaystyle dx=3\cos\theta\,d\theta$이고 $\displaystyle 12/5=3\sin\theta\Rightarrow\sin\alpha=4/5,\cos\alpha=3/5$.따라서 $\displaystyle \begin{aligned}A_1&=\int_0^\alpha\sqrt{9-9\sin^2\theta}\,3\cos\theta\,d\theta=\int_0^\alpha3\cos\theta\,3\cos\theta\,d\theta=9\int_0^\alpha\cos^2\theta\,d\theta=\frac92\int_0^\alpha(1+\cos2\theta)\,d\theta\\&=\frac92\Biggl[\theta+\frac12\sin2\theta\Biggr]_0^\alpha=\frac92(\alpha+1/2\sin2\alpha)=\frac92(\alpha+\sin\alpha\cos\alpha)\\&=\frac92(\alpha+4/5\times3/5)=\frac92(\alpha+12/25)\end{aligned}$이다.마찬가지로 $\displaystyle A_2=\int_0^{12/5}\sqrt{16-x^2}\,dx$라고 두고 $\displaystyle x=4\sin\theta\ (0\le\theta\le\pi/2)$라 하면 $\displaystyle dx=4\cos\theta\,d\theta$이고 $\displaystyle 12/5=4\sin\theta\Rightarrow\sin\beta=3/5,\cos\beta=4/5$.따라서$\displaystyle \begin{aligned}A_2&=\int_0^\beta\sqrt{16-16\sin^2\theta}\,4\cos\theta\,d\theta=\int_0^\beta4\cos\theta\,4\cos\theta\,d\theta=16\int_0^\beta\cos^2\theta\,d\theta=\frac{16}2\int_0^\beta(1+\cos2\theta)\,d\theta\\&=8\Biggl[\theta+\frac12\sin2\theta\Biggr]_0^\beta=8(\beta+1/2\sin2\beta)=8(\beta+12/25)\end{aligned}$이다.따라서 $\displaystyle \begin{aligned}A&=\frac83A_1-\frac32A_2=12(\alpha+12/25)-12(\beta+12/25)\\&=12(\alpha-\beta)\end{aligned}$(단, $\displaystyle \alpha,\beta$는 예각이고, $\displaystyle \sin\alpha=4/5,\sin\beta=3/5$ 만족)

【1-4】 본 회전체는 직선 $\displaystyle y=-5$과 영역 $\displaystyle A$를 $\displaystyle y$축으로 $\displaystyle +5$만큼 이동한 후 $\displaystyle x$축 둘레로 회전하는 것으로 볼 수 있다.따라서 회전체의 부피 $\displaystyle V$는$\displaystyle V=\int_{-12/5}^{12/5}\pi(f(x)+5)^2\,dx-\int_{-12/5}^{12/5}\pi(g(x)+5)^2\,dx$(단, $\displaystyle f(x)=4\sqrt{1-\frac{x^2}9}$, $\displaystyle g(x)=3\sqrt{1-\frac{x^2}{16}}$)$\displaystyle \begin{aligned}&=\int_{-12/5}^{12/5}\pi(f(x)^2+10f(x)+25)\,dx-\int_{-12/5}^{12/5}\pi(g(x)^2+10g(x)+25)\,dx\\&=\pi\int_{-12/5}^{12/5}16-\frac{16x^2}9+40\sqrt{1-\frac{x^2}9}-9+\frac{9x^2}{16}-30\sqrt{1-\frac{x^2}{16}}\,dx\\&=2\pi\int_0^{12/5}7+\left(\frac9{16}-\frac{16}9\right)x^2+\frac{40}3\sqrt{9-x^2}-\frac{30}4\sqrt{16-x^2}\,dx\end{aligned}$$\displaystyle B_1=\int_0^{12/5}7+\frac{9^2-16^2}{16\times9}x^2\,dx=\frac{56}5$,$\displaystyle B_2=\int_0^{12/5}\frac{40}3\sqrt{9-x^2}\,dx=\frac{40}3\int_0^{12/5}\sqrt{9-x^2}\,dx$. $\displaystyle x=3\sin\theta,dx=3\cos\theta\,d\theta,12/5=3\sin\alpha_1$,즉 $\displaystyle 4/5=\sin\alpha_1$. 따라서$\displaystyle B_2=\frac{40}3\int_0^{\alpha_1}\sqrt{9-9\sin^2\theta}\,3\cos\theta\,d\theta=\frac{40}3\int_0^{\alpha_1}9\cos^2\theta\,d\theta=60\Biggl[\theta+\frac12\sin2\theta\Biggr]_0^{\alpha_1}=60(\alpha_1+12/25)$같은 방식으로 $\displaystyle x=4\sin\theta$라 두면 $\displaystyle 3/5=\sin\alpha_2$이고$\displaystyle B_3=\frac{30}4\int_0^{\alpha_2}\sqrt{16-16\sin^2\theta}\,4\cos\theta\,d\theta=\frac{30}4\int_0^{\alpha_2}16\cos^2\theta\,d\theta=60\Biggl[\theta+\frac12\sin2\theta\Biggr]_0^{\alpha_2}=60(\alpha_2+12/25)$따라서 $\displaystyle \begin{aligned}V&=2\pi(B_1+B_2-B_3)\\&=\frac{112\pi}5+120\pi(\alpha_1-\alpha_2)\end{aligned}$(단, $\displaystyle \alpha_1,\alpha_2$는 예각이고 $\displaystyle \sin\alpha_1=4/5,\sin\alpha_2=3/5$ 만족)