자연계열 1번

【1-1】 점 $\displaystyle (\frac{u^2}{4p},u)$에서 포물선 $\displaystyle y^2=4px$과 접하는 직선의 방정식은 $\displaystyle y-u=\frac{2p}u(x-\frac{u^2}{4p})$,즉 $\displaystyle y=\frac{2p}ux+\frac u2$이다. 이 직선이 점 $\displaystyle (\alpha,\beta)$를 지나면 $\displaystyle \beta=\frac{2p}u\alpha+\frac u2$이다.이 식을 정리하면 $\displaystyle u^2-2\beta u+p\alpha=0$이므로 $\displaystyle u=\beta\pm\sqrt{\beta^2+4p\alpha}$이다.Correction. 정리한 이차방정식의 상수항 $\displaystyle p\alpha$는 $\displaystyle 4p\alpha$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Correction. 근의 공식에서 근호 안의 $\displaystyle \beta^2+4p\alpha$는 $\displaystyle \beta^2-4p\alpha$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.그러므로 $\displaystyle y_0=\beta+\sqrt{\beta^2-4p\alpha}$이고 $\displaystyle y_1=\beta-\sqrt{\beta^2-4p\alpha}$이다.

【1-2】 $\displaystyle \alpha=-p$인 경우 【1-1】의 답안에 의해 $\displaystyle y_0=\beta+\sqrt{\beta^2+4p^2}$이고 $\displaystyle y_1=\beta-\sqrt{\beta^2+4p^2}$이므로$\displaystyle x_1-x_0=\frac{y_1^2-y_0^2}{4p}=\frac{(y_1-y_0)(y_1+y_0)}{4p}=-\frac{\beta\sqrt{\beta^2+4p^2}}p$이다.$\displaystyle \beta=0$이면 $\displaystyle (x_0,y_0)=(p,2p)$이고 $\displaystyle (x_1,y_1)=(p,-2p)$이므로 두 점을 지나는 직선은 초점 $\displaystyle \mathrm F(p,0)$을 지난다. $\displaystyle \beta\ne0$이면 $\displaystyle x_1-x_0\ne0$이고 점 $\displaystyle (x_0,y_0)$과 점 $\displaystyle (x_1,y_1)$를 지나는 $\displaystyle y-y_0=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0)$이다.그런데 $\displaystyle \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\frac{4p}{y_1+y_0}=\frac{2p}\beta$이므로 이 직선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac{2p}\beta x-\frac{2p}\beta x_0+y_0$을 얻는다.$\displaystyle x=p$를 대입하면 우변은 $\displaystyle \frac{2p^2}\beta-\frac{2p}\beta x_0+y_0$이다.여기에 $\displaystyle x_0=\frac{y_0^2}{4p}=\frac{\beta^2+(\beta^2+4p^2)+2\beta\sqrt{\beta^2+4p^2}}{4p}=\frac{4p^2+2\beta y_0}{4p}=p+\frac\beta{2p}y_0\quad\text{----------(1)}$을 대입하면 $\displaystyle \frac{2p^2}\beta-\frac{2p}{\beta_0}(p+\frac\beta{2p}y_0)+y_0=0$이므로 이 직선은 $\displaystyle (p,0)$을 지난다.Correction. 마지막 대입식에서 분모의 $\displaystyle \beta_0$는 $\displaystyle \beta$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

【1-3】 내분점 공식에 의해 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OP}}+t\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$이다.그런데 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OC}}$이고 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OC}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$이므로$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=(1-t)^2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2t(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OC}}+t^2\overrightarrow{\mathrm{OB}}$로 나타낼 수 있다.

【1-4】 (i) 점 R은 포물선 $\displaystyle y^2=4px$ 위에 있다.[1-3]에 의하여 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=((1-t)^2x_0+2t(1-t)\alpha+t^2x_1,(1-t)^2y_0+2t(1-t)\beta+t^2y_1)$이다.(1)과 같은 방법으로 계산하면 $\displaystyle x_0=-\alpha+\frac{\beta y_0}{2p}$, $\displaystyle x_1=-\alpha+\frac{\beta y_1}{2p}$이고, 이 값을 위의 식에 대입하면 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle (-4t^2+4t-1)\alpha+(1-t)^2\frac{\beta y_0}{2p}+t^2\frac{\beta y_1}{2p}$이다.그런데 $\displaystyle y_0+y_1=2\beta$이므로 이 식은 $\displaystyle (-4t^2+4t-1)\alpha+\frac{(1-2t)\beta y_0}{2p}+\frac{t^2\beta^2}p\quad\text{-------(2)}$이다.이 값을 $\displaystyle X$라 하자. 같은 방법으로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}$의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle (1-2t)y_0+2t\beta$임을 보일 수 있다.이 값을 $\displaystyle Y$라고 하자. 이제 $\displaystyle Y^2=4pX$임을 보이자.$\displaystyle \frac1{4p}Y^2=\frac1{4p}((1-2t)^2y_0^2+4t^2\beta^2+2t(1-2t)y_0\beta)=$Correction. 제곱을 전개한 교차항 $\displaystyle 2t(1-2t)y_0\beta$는 $\displaystyle 4t(1-2t)y_0\beta$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle -(1-2t)^2\alpha+\frac{(1-2t)^2\beta y_0}{2p}+\frac{t^2\beta^2}p+\frac{t(1-2t)y_0\beta}{2p}$이므로 (2)에 의해 $\displaystyle Y^2=4pX$이다.Correction. 마지막 항 $\displaystyle \frac{t(1-2t)y_0\beta}{2p}$는 $\displaystyle \frac{t(1-2t)y_0\beta}{p}$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.(ii) 점 R에서의 접선은 직선 PQ이다. 점 R은 선분 PQ의 내분점이므로 직선 PQ 위에 있다. 그러므로 직선 PQ가 접선임을 보이기 위해서는 직선 PQ의 (크기가 1인) 방향벡터와 접선의 (크기가 1인) 방향벡터가 같음을 보이면 된다.$\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}&=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}\\&=((1-t)\overrightarrow{\mathrm{OC}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}})-((1-t)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OC}})\\&=t(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}-2\overrightarrow{\mathrm{OC}})+(-\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}})\quad\text{--------(3)}\end{aligned}$이다.$\displaystyle t$가 0과 1 사이를 움직일 때 점 R이 움직이는 자취는 $\displaystyle t$로 매개화된 곡선이다.벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}$을 $\displaystyle (f(t),g(t))$라고 하면 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=(1-t)^2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2t(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OC}}+t^2\overrightarrow{\mathrm{OB}}$이므로점 R에서 속도벡터는 $\displaystyle \begin{aligned}(f^{\prime}(t),g^{\prime}(t))&=-2(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2(1-2t)\overrightarrow{\mathrm{OC}}+2t\overrightarrow{\mathrm{OB}}\\&=2(t(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}-2\overrightarrow{\mathrm{OC}})+(-\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}))\\&=2\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\end{aligned}$이다. 그러므로 두 직선은 점 R을 지나고 같은 방향벡터를 가지므로 서로 일치한다.