자연계열 2번

【2-1】 $\displaystyle \begin{aligned}&f(-2)=-8+4+1/2<0,\ f(-1)=-1+2+1/2>0,\ f(0)=1/2>0,\\&f(1)=1-2+1/2<0,\ f(2)=8-4+1/2>0\end{aligned}$이므로 제시문 [나]에 의하여 세 개의 근 $\displaystyle \alpha,\beta,\gamma$가 존재하며 $\displaystyle -2<\alpha<1,0<\beta<1,1<\gamma<2$임을 알 수 있다.Correction. 중간값의 정리를 가리키는 “제시문 [나]”는 “제시문 [가]”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이제는 이 근들이 유리수가 아님을 보이자. 근 $\displaystyle x=a/b$(단 $\displaystyle a,b$는 서로소인 정수)라고 두자.그러면 $\displaystyle f(a/b)=(a/b)^3-2(a/b)+\frac12=0$$\displaystyle \Leftrightarrow2a^3-4ab^2+b^3=0\Leftrightarrow b^3=4ab^2-2a^3=2(2ab^2-a^3)$마지막 식의 우변의 식 $\displaystyle 2(2ab^2-a^3)$이 짝수이므로 좌변의 식 $\displaystyle b^3$도 짝수이어야 한다. 그러면 $\displaystyle b$도 짝수이어야 한다.이제 $\displaystyle b=2k$라고 두면$\displaystyle 2a^3-16ak^2+8k^3=0\Leftrightarrow a^3-8ak^2+4k^3=0\Leftrightarrow a^3=8ak^2-4k^3=2(4ak^2-2k^3)$마지막 식의 우변의 식 $\displaystyle 2(4ak^2-2k^3)$이 짝수이므로 좌변의 식 $\displaystyle a^3$도 짝수이어야 한다. 따라서 $\displaystyle a$도 짝수이다. $\displaystyle a,b$가 모두 짝수인 것은 서로소라는 가정에 위배되므로, $\displaystyle x$는 유리수가 아니다.

【2-2】 $\displaystyle k=1$일 때 $\displaystyle a_1=(1-\alpha)(1-\beta)(\gamma-1)$ (왜냐하면 $\displaystyle \alpha,\beta<1,\gamma>1$). $\displaystyle k\ge2$일 때,$\displaystyle a_k=(k-\alpha)(k-\beta)(k-\gamma)$가 된다.따라서$\displaystyle \begin{aligned}S_n&=a_1+\sum_{k=2}^n(k-\alpha)(k-\beta)(k-\gamma)=-(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)+\sum_{k=2}^n(k-\alpha)(k-\beta)(k-\gamma)\\&=-2(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)+\sum_{k=1}^n(k-\alpha)(k-\beta)(k-\gamma)\\&=-2(1-(\alpha+\beta+\gamma)+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)-\alpha\beta\gamma)+\sum_{k=1}^n(k^3-(\alpha+\beta+\gamma)k^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)k-\alpha\beta\gamma)\\&=-2(1-0-2+1/2)+\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2-0+(-2)\cdot\frac{n(n+1)}2+\frac12n\\&=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2-n(n+1)+\frac n2+1\\&=\frac{n^4}4+\frac{n^3}2-\frac34n^2-\frac n2+1\end{aligned}$

【2-3】 $\displaystyle M$의 역행렬을 구해보면 $\displaystyle M^{-1}=\frac1D\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$(단, $\displaystyle D=ad-bc$)가 된다.따라서 $\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=M^{-1}\begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\frac1D\begin{pmatrix}dx^{\prime}-by^{\prime}\\-cx^{\prime}+ay^{\prime}\end{pmatrix}$,즉 $\displaystyle x=\frac1D(dx^{\prime}-by^{\prime}),\ y=\frac1D(-cx^{\prime}+ay^{\prime})$을 $\displaystyle y=x^3-2x+\frac12$에 대입하면 $\displaystyle \frac1D(-cx^{\prime}+ay^{\prime})=\left(\frac1D(dx^{\prime}-by^{\prime})\right)^3-2\left(\frac1D(dx^{\prime}-by^{\prime})\right)+\frac12$.$\displaystyle y^{\prime}=\frac2{27}(x^{\prime})^3+1$에는 $\displaystyle (y^{\prime})^3$이 없으므로, 위 식에서 $\displaystyle b=0$이어야 한다.이를 이용하여 위 식을 간단히 정리하면$\displaystyle y^{\prime}=\frac1{D^2}\frac1a d^3(x^{\prime})^3+\frac1a(c-2d)x^{\prime}+\frac1{2a}D$ (여기서 $\displaystyle a\ne0$ 왜냐하면 $\displaystyle D\ne0$).$\displaystyle y^{\prime}=\frac2{27}(x^{\prime})^3+1$과 각각의 계수를 비교하면 $\displaystyle c=2d,\frac d2=1$, 즉 $\displaystyle d=2,c=4$가 된다.또한 $\displaystyle \frac2{27}=\frac1{a^2d^2}\frac1a d^3=\frac d{a^3}$, 즉 $\displaystyle a=3$이 된다. 따라서 $\displaystyle M=\begin{pmatrix}3&0\\4&2\end{pmatrix}$

【2-4】 $\displaystyle M=\begin{pmatrix}3&0\\4&2\end{pmatrix}$라고 할 때, $\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=M^{-1}\begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\frac16\begin{pmatrix}2x^{\prime}\\-4x^{\prime}+3y^{\prime}\end{pmatrix}$ 즉 $\displaystyle x=\frac13x^{\prime},\ y=-\frac23x^{\prime}+\frac12y^{\prime}$이 된다. 이 식을 연속해서 $\displaystyle n$번 적용하면 된다. 즉, 이 식을 한 번 적용했을 때 ($\displaystyle n=1$), $\displaystyle y=x^3-2x+\frac12$이 $\displaystyle y=\frac2{27}(x)^3+1$로 된다(문제 [1-3]).Correction. “문제 [1-3]”은 “문제 【2-3】”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle n=2$인 경우를 구하기 위해, $\displaystyle y=\frac2{27}(x)^3+1$에 $\displaystyle x=\frac13x^{\prime},\ y=-\frac23x^{\prime}+\frac12y^{\prime}$를 적용하면$\displaystyle y^{\prime}=\frac{2^2}{27^2}(x^{\prime})^3+2\left(\frac23x^{\prime}\right)+2$이고 $\displaystyle x^{\prime},y^{\prime}$를 $\displaystyle x,y$로 변경하면 $\displaystyle y=\frac{2^2}{27^2}(x)^3+2\left(\frac23x\right)+2$가 된다.$\displaystyle n=3$인 경우를 구하기 위해, $\displaystyle y=\frac{2^2}{27^2}(x)^3+2\left(\frac23x\right)+2$에 $\displaystyle x=\frac13x^{\prime},\ y=-\frac23x^{\prime}+\frac12y^{\prime}$를 적용하면,$\displaystyle y=\frac{2^3}{27^3}(x)^3+\left(2^2\left(\frac23\frac13\right)+2\left(\frac23\right)\right)x+2^2$.$\displaystyle n=4$인 경우를 구하기 위해, 바로 위식에 다시 $\displaystyle x=\frac13x^{\prime},\ y=-\frac23x^{\prime}+\frac12y^{\prime}$를 적용하면,$\displaystyle y=\frac{2^4}{27^4}(x)^3+\left(2^3\left(\frac23\frac13\frac13\right)+2^2\left(\frac23\frac13\right)+2\left(\frac23\right)\right)x+2^3=\frac{2^4}{27^4}(x)^3+2^2\left(1-\left(\frac23\right)^3\right)x+2^3$$\displaystyle n=5$인 경우를 구하기 위해, 바로 위식에 다시 $\displaystyle x=\frac13x^{\prime},\ y=-\frac23x^{\prime}+\frac12y^{\prime}$를 적용하면,$\displaystyle \begin{aligned}y&=\frac{2^5}{27^5}(x)^3+\left(2^4\left(\frac23\frac13\frac13\frac13\right)+2^3\left(\frac23\frac13\frac13\right)+2^2\left(\frac23\frac13\right)+2\left(\frac23\right)\right)x+2^4\\&=\frac{2^5}{27^5}(x)^3+2^2\left(1-\left(\frac23\right)^4\right)x+2^4\end{aligned}$따라서 이런 패턴을 임의의 $\displaystyle n$에 대하여 표현하면 다음의 곡선이 얻어진다.$\displaystyle y=\left(\frac2{27}\right)^5x^3+2^2\left(1-\left(\frac23\right)^{n-1}\right)x+2^{n-1}$Correction. 일반항에서 $\displaystyle x^3$의 계수 $\displaystyle (2/27)^5$는 $\displaystyle (2/27)^n$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.