공학계열 2번

【2-1】 일차변환 $\displaystyle f$에 의해 임의의 점 $\displaystyle (x,y)$가 $\displaystyle (x^{\prime},y^{\prime})$으로 옮겨진다고 하면 $\displaystyle x^{\prime}=2x,y^{\prime}=x+3y$이다. 그러므로 $\displaystyle x=\frac x2,y=\frac{-x+2y}6$이고 이 값을 포물선의 방정식 $\displaystyle y=\frac43x^2-\frac13x$에 대입해 풀면 $\displaystyle y^{\prime}=(x^{\prime})^2$을 얻는다. 그러므로 옮겨진 포물선의 방정식은 $\displaystyle y=x^2$이다.Correction. 역변환의 두 식은 $\displaystyle x=x^{\prime}/2$, $\displaystyle y=(-x^{\prime}+2y^{\prime})/6$이다. 원문 오른쪽 좌표들에 프라임이 빠져 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.한편, 점 $\displaystyle (3,0)$에서 포물선 $\displaystyle y=x^2$ 위의 임의의 점 $\displaystyle (t,t^2)$에 이르는 거리를 제곱한 함수를 $\displaystyle d(t)$라고 하면 $\displaystyle d(t)=(t-3)^2+t^4$이고 이 식을 $\displaystyle t$로 미분하면 $\displaystyle d^{\prime}(t)=4t^3+2t-6$이다.이 때 우변은 $\displaystyle 2(t-1)(2t^2+2t+3)$로 인수분해가 되고 $\displaystyle 2t^2+2t+3$은 판별식이 음수이므로 $\displaystyle t=1$이 $\displaystyle d^{\prime}(t)=0$의 유일한 실근임을 알 수 있다. 함수 $\displaystyle y=d(t)$는 사차함수이므로 점 $\displaystyle (1,d(1))$에서 유일한 극소점을 갖고 $\displaystyle d(t)$는 $\displaystyle t=1$에서 최솟값을 갖는다. 그러므로 함수 $\displaystyle \sqrt{d(t)}$는 $\displaystyle t=1$에서 최솟값 $\displaystyle \sqrt5$를 갖는다.

【2-2】 일차변환 $\displaystyle f,g$를 나타내는 행렬은 각각 $\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$이다. 이제 일차변환 $\displaystyle h$를 나타내는 행렬을 구해보자. 좌표평면 위의 임의의 점 $\displaystyle (x,y)$에 일차변환 $\displaystyle h$에 의해 $\displaystyle (x^{\prime},y^{\prime})$으로 옮겨진다고 하면, $\displaystyle (\frac{x^{\prime}+x}2,\frac{y^{\prime}+y}2)$는 직선 $\displaystyle y=mx$ 위에 있고 $\displaystyle \frac{y^{\prime}-y}{x^{\prime}-x}=-\frac1m$이다.이 식을 정리하면 $\displaystyle \begin{cases}mx^{\prime}-y^{\prime}=-mx+y\\x^{\prime}+my^{\prime}=x+my\end{cases}$을 얻는다.연립해서 풀면 $\displaystyle x^{\prime}=\frac{1-m^2}{m^2+1}x+\frac{2m}{m^2+1}y,\quad y^{\prime}=\frac{2m}{m^2+1}x+\frac{m^2-1}{m^2+1}y$을 얻는다.그러므로 구하는 행렬은 $\displaystyle \frac1{m^2+1}\begin{pmatrix}1-m^2&2m\\2m&m^2-1\end{pmatrix}$이다.제시문 [가]에 의해 합성변환 $\displaystyle f\circ h\circ g\circ h\circ f$를 나타내는 행렬 $\displaystyle B$는 다음과 같이 주어진다.$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\frac1{m^2+1}\begin{pmatrix}1-m^2&2m\\2m&m^2-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\frac1{m^2+1}\begin{pmatrix}1-m^2&2m\\2m&m^2-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$이 행렬의 곱을 계산하면 $\displaystyle B=\frac1{(m^2+1)^2}\begin{pmatrix}4m^2&0\\0&0\end{pmatrix}=\frac{4m^2}{(m^2+1)^2}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$이다.그러므로 $\displaystyle \alpha_n=\left(\frac{4m^2}{(m^2+1)^2}\right)^n$이다. 수열 $\displaystyle \{\alpha_n\}$은 초항과 공비가 $\displaystyle \left(\frac{2m}{m^2+1}\right)^2$인 등비수열이므로 무한급수 $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\alpha_i$은 $\displaystyle -1<\frac{2m}{m^2+1}<1$일 때에만 존재한다. $\displaystyle m\ne\pm1$인 모든 실수에 대해 이 부등식은 성립한다. 가정에 의해 $\displaystyle m\ne0$이므로 $\displaystyle m\ne0,1,-1$인 경우에만 $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\alpha_i$이 존재하고 그 합은 $\displaystyle \frac{\frac{4m^2}{(m^2+1)^2}}{1-\frac{4m^2}{(m^2+1)^2}}=\frac{4m^2}{(m^2-1)^2}$이다.

【2-3】 직접 이항계수를 계산해 보면 구하는 식$\displaystyle (2\times1){}_{7}\mathrm C_2E+(3\times2){}_{7}\mathrm C_3A+(4\times3){}_{7}\mathrm C_4A^2+(5\times4){}_{7}\mathrm C_5A^3+(6\times5){}_{7}\mathrm C_6A^4+(7\times6){}_{7}\mathrm C_7A^5\quad\text{----(1)}$은 $\displaystyle (7\times6)(A^5+{}_{5}\mathrm C_1A^4+{}_{5}\mathrm C_2A^3+{}_{5}\mathrm C_3A^2+{}_{5}\mathrm C_4A+E)$이 됨을 보일 수 있다.제시문 [나]에 의해 $\displaystyle (A+E)^5=A^5+{}_{5}\mathrm C_1A^4+{}_{5}\mathrm C_2A^3+{}_{5}\mathrm C_3A^2+{}_{5}\mathrm C_4A+E$이므로식 (1)은 $\displaystyle 42\begin{pmatrix}\cos\frac{2\pi}5&-\sin\frac{2\pi}5\\\sin\frac{2\pi}5&\cos\frac{2\pi}5\end{pmatrix}^5=42\begin{pmatrix}\cos2\pi&-\sin2\pi\\\sin2\pi&\cos2\pi\end{pmatrix}=42E$이다.

【2-4】 먼저 임의의 각 $\displaystyle \theta$에 대해 삼각함수의 배각공식을 사용하면 다음을 보일 수 있다.$\displaystyle \begin{pmatrix}\cos2\theta-1&-\sin2\theta\\\sin2\theta&\cos2\theta-1\end{pmatrix}=-2\sin\theta\begin{pmatrix}\sin\theta&\cos\theta\\-\cos\theta&\sin\theta\end{pmatrix}$문제에서 주어진 행렬 $\displaystyle A$는 위 행렬에 $\displaystyle \theta=\frac\pi5$를 대입하여 얻을 수 있다.그런데 $\displaystyle \begin{pmatrix}\sin\theta&\cos\theta\\-\cos\theta&\sin\theta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos(\theta-\frac\pi2)&-\sin(\theta-\frac\pi2)\\\sin(\theta-\frac\pi2)&\cos(\theta-\frac\pi2)\end{pmatrix}$이므로 $\displaystyle \begin{pmatrix}\sin\theta&-\cos\theta\\\cos\theta&\sin\theta\end{pmatrix}$은 $\displaystyle \theta-\frac\pi2$만큼 회전변환을 나타내는 행렬이다.Correction. 회전변환을 나타내는 행렬의 오른쪽 위 성분 $\displaystyle -\cos\theta$는 $\displaystyle \cos\theta$, 왼쪽 아래 성분 $\displaystyle \cos\theta$는 $\displaystyle -\cos\theta$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.그러므로 $\displaystyle \begin{pmatrix}\cos2\theta-1&-\sin2\theta\\\sin2\theta&\cos2\theta-1\end{pmatrix}^7=(-2\sin\theta)^7\begin{pmatrix}\cos7(\theta-\frac\pi2)&-\sin7(\theta-\frac\pi2)\\\sin7(\theta-\frac\pi2)&\cos7(\theta-\frac\pi2)\end{pmatrix}$이다.이로부터 $\displaystyle \begin{aligned}A^7&=(-2\sin\frac\pi5)^7\begin{pmatrix}-\sin\frac{7\pi}5&-\cos\frac{7\pi}5\\\cos\frac{7\pi}5&-\sin\frac{7\pi}5\end{pmatrix}\\&=(-2\sin\frac\pi5)^7\begin{pmatrix}\sin\frac{2\pi}5&\cos\frac{2\pi}5\\-\cos\frac{2\pi}5&\sin\frac{2\pi}5\end{pmatrix}=(-2\sin\frac\pi5)^7\begin{pmatrix}\sin\frac{2\pi}5&\cos\frac{2\pi}5\\-\cos\frac{2\pi}5&\sin\frac{2\pi}5\end{pmatrix}\end{aligned}$을 얻을 수 있다. 다시 한 번 삼각함수의 배각공식을 이용하면$\displaystyle A^7=-(2\sin\frac\pi5)^7\begin{pmatrix}2\sin\frac\pi5\cos\frac\pi5&1-2\sin^2\frac\pi5\\-1+2\sin^2\frac\pi5&2\sin\frac\pi5\cos\frac\pi5\end{pmatrix}$$\displaystyle s=\sin\frac\pi5$라 놓으면 $\displaystyle \cos\frac\pi5=\sqrt{1-s^2}$이므로 $\displaystyle A^7=-2^7s^7\begin{pmatrix}2s\sqrt{1-s^2}&1-2s^2\\-1+2s^2&2s\sqrt{1-s^2}\end{pmatrix}$이다.