공학계열 1번

[1-1]곡선 위의 점 $\displaystyle (s,f(s))$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle f^{\prime}(s)$이므로 벡터 $\displaystyle (1,f^{\prime}(s))$는 점 $\displaystyle (s,f(s))$에서 $\displaystyle (t,t)$로의 벡터 $\displaystyle (s-t,f(s)-t)$와 수직이다. 그러므로 $\displaystyle (1,f^{\prime}(s))\cdot(s-t,f(s)-t)=0$ 즉 $\displaystyle s-t+f^{\prime}(s)\{f(s)-t\}=0$을 만족한다.Correction. 좌표 $\displaystyle (s-t,f(s)-t)$는 점 $\displaystyle (t,t)$에서 $\displaystyle (s,f(s))$로 향하는 벡터이다. 원문의 출발점과 도착점이 바뀌어 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.다시 말해, $\displaystyle (s-1)-(t-1)+f^{\prime}(s)\{(f(s)-1)-(t-1)\}=0$이고 $\displaystyle s\ne1$인 $\displaystyle s$에 대하여 이 등식을 $\displaystyle s-1$로 나눠준 뒤 정리하면,$\displaystyle \frac{t-1}{s-1}=\frac{1+f^{\prime}(s)\cdot\frac{f(s)-1}{s-1}}{1+f^{\prime}(s)}$을 얻게 된다. 이 때 가정에서 주어진 $\displaystyle f^{\prime}(s)\ne-1$을 사용하였다.이제 $\displaystyle s\to1$로 보내면, $\displaystyle f^{\prime}(1)=\alpha$이고 $\displaystyle f^{\prime}$이 연속이므로$\displaystyle \lim_{s\to1}\frac{t-1}{s-1}=\lim_{s\to1}\frac{1+f^{\prime}(s)\cdot\frac{f(s)-1}{s-1}}{1+f^{\prime}(s)}=\frac{1+\alpha^2}{1+\alpha}$을 얻는다.

[1-2]곡선의 길이는 제시문 [가]와 같이 주어졌다. 만일 $\displaystyle s<1$이면 $\displaystyle L(s)=\int_s^1\sqrt{1+f^{\prime}(t)^2}\,dt$가 되고, $\displaystyle L(1)=0$이다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{s\to1-0}\frac{L(s)-L(1)}{s-1}&=\lim_{s\to1-0}\frac1{s-1}\int_s^1\sqrt{1+f^{\prime}(t)^2}\,dt\\&=-\lim_{s\to1-0}\frac1{s-1}\int_1^s\sqrt{1+f^{\prime}(t)^2}\,dt\\&=-\sqrt{1+\alpha^2}\end{aligned}$이다. 여기서 마지막 등식은 미적분학의 기본정리를 이용한 것이다.마찬가지로, $\displaystyle s>1$인 경우,$\displaystyle \lim_{s\to1+0}\frac{L(s)-L(1)}{s-1}=\lim_{s\to1+0}\frac1{s-1}\int_1^s\sqrt{1+f^{\prime}(t)^2}\,dt=\sqrt{1+\alpha^2}$이다. 따라서$\displaystyle \lim_{s\to1-0}\frac{L(s)-L(1)}{s-1}=-\sqrt{1+\alpha^2}\ne\sqrt{1+\alpha^2}=\lim_{s\to1+0}\frac{L(s)-L(1)}{s-1}$가 되어 $\displaystyle L(s)$는 $\displaystyle s=1$에서 미분 불가능하다.

[1-3]$\displaystyle h(x)=\frac{g(g(x))}{x^2}=\frac{\ln c+\ln(\ln x)-\ln x}{x\ln x}$이다. $\displaystyle s=\ln x$라 치환하면 $\displaystyle \ln e=1,\ln e^e=e$,$\displaystyle ds=\frac{dx}x$이므로 $\displaystyle \int_e^{e^e}h(x)\,dx=\int_1^e\frac{\ln c+\ln s-s}s\,ds=\Biggl[\ln c\ln s+\frac12(\ln s)^2-s\Biggr]_1^e=\ln c+\frac32-e=0$.그러므로 $\displaystyle \ln c=e-\frac32$, 즉, $\displaystyle h(x)=\frac{e-\frac32+\ln\ln x-\ln x}{x\ln x}$이다.

[1-4]문항 [1-3]에서 구한 함수 $\displaystyle h(x)$에 대하여,(i) $\displaystyle \lim_{x\to1+0}\ln(\ln x)=-\infty$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to1+0}\left(h(x)+\frac14e^{-e-1}\right)=-\infty$이다.(ii) $\displaystyle h(e)+\frac14e^{-e-1}=1-\frac52e^{-1}+\frac14e^{-e-1}>0$.(iii) $\displaystyle h(e^e)+\frac14e^{-e-1}=-\frac12e^{-e-1}+\frac14e^{-e-1}=-\frac14e^{-e-1}<0$.(iv) $\displaystyle h(x)=\frac{e-\frac32+\ln\ln x-\ln x}{x\ln x}=\frac{\frac{e-\frac32}{\ln x}+\frac{\ln\ln x}{\ln x}-1}x$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}h(x)=0$이 되어 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}h(x)+\frac14e^{-e-1}=\frac14e^{-e-1}>0$이다.따라서 중간값 정리에 의하여 방정식 $\displaystyle h(x)+\frac14e^{-e-1}=0$은 적어도 서로 다른 세 개의 실근을 갖는다.