공학계열 2번

[2-1]

점 I에서 $\displaystyle x$축에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm L(1,0,0)$, 점 K의 그림자를 $\displaystyle \mathrm K^{\prime}\left(1,\frac32,0\right)$이라 하자. 점 I의 좌표가 $\displaystyle (1,1,0)$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{IK^{\prime}}}=\frac12$이 되고, 직각삼각형 KIK′에서, $\displaystyle \theta=\frac\pi6$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{KI}}=\frac{\sqrt3}2$, $\displaystyle \overline{\mathrm{KK^{\prime}}}=1$이다. 따라서 직각삼각형 KLI에서, $\displaystyle \overline{\mathrm{LI}}=1$이므로 피타고라스의 정리에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{KL}}=\frac{\sqrt7}2$.그러므로 $\displaystyle \cos\phi=\frac{\overline{\mathrm{LI}}}{\overline{\mathrm{KL}}}=\frac2{\sqrt7}$이다.

[2-2]

빛이 입사되는 각도는 3시간 동안 $\displaystyle \frac\pi4$만큼 회전하므로 $\displaystyle \theta$일 때의 그림자의 면적에서 $\displaystyle \theta+\frac\pi4$일 때의 그림자의 면적을 빼면 된다. 한편, 그림자의 면적은 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}}\,\overline{\mathrm{AE^{\prime}}}=2\cdot2\tan\theta$이다. 그러므로$\displaystyle \begin{aligned}f(\theta)&=4\tan\theta-4\tan\left(\theta+\frac\pi4\right)\\&=4\left(\tan\theta-\frac{\tan\theta+\tan\frac\pi4}{1-\tan\theta\tan\frac\pi4}\right)\\&=4\left(\tan\theta-\frac{\tan\theta+1}{1-\tan\theta}\right)\\&=4\left(\frac{-\tan^2\theta-1}{1-\tan\theta}\right)=\frac{-4\sec^2\theta}{1-\tan\theta}\end{aligned}$이 되고 이를 적분하면, $\displaystyle 0<\theta_1<\theta_2<\frac\pi4$에 대하여$\displaystyle \int_{\theta_1}^{\theta_2}f(\theta)\,d\theta=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{-4\sec^2\theta}{1-\tan\theta}\,d\theta=4\ln\left(\frac{1-\tan\theta_2}{1-\tan\theta_1}\right)$이다.

[2-3]

$\displaystyle \triangle\mathrm{ADK}$가 한 변의 길이가 $\displaystyle 2$인 정삼각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{KL}}=\sqrt3$이고$\displaystyle \overline{\mathrm{KI}}=\sqrt{(\overline{\mathrm{KL}})^2-(\overline{\mathrm{LI}})^2}=\sqrt{3-1}=\sqrt2$가 된다.그러므로 $\displaystyle \mathrm K(1,1,\sqrt2)$이다.$\displaystyle \mathrm Z=(1,1,z)$라 놓고 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ZA}}+\overrightarrow{\mathrm{ZB}}+\overrightarrow{\mathrm{ZC}}+\overrightarrow{\mathrm{ZD}}+\overrightarrow{\mathrm{ZK}}=0$을 이용해서 풀면 $\displaystyle \mathrm Z\left(1,1,\frac{\sqrt2}5\right)$이므로$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AZ}}=\left(-1,1,\frac{\sqrt2}5\right)$, $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AZ}}|=\frac{\sqrt{52}}5$이다.한편, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}=(0,2,0)$, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AD}}=(-2,0,0)$, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AK}}=(-1,1,\sqrt2)$이고 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AK}}|=2$이다.그러므로$\displaystyle \cos\rho_1=\frac{\overrightarrow{\mathrm{AZ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AZ}}|\,|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|}=\frac5{\sqrt{52}}$, $\displaystyle \cos\rho_2=\frac5{\sqrt{52}}$,$\displaystyle \cos\rho_3=\frac6{\sqrt{52}}$이 되어$\displaystyle \begin{aligned}2\left(\cos^2\frac{\rho_1}2-\sin^2\frac{\rho_2}2\right)+\cos^2\frac{\rho_3}2&=2\left(\frac{1+\cos\rho_1}2-\frac{1-\cos\rho_2}2\right)+\frac{1+\cos\rho_3}2\\&=\cos\rho_1+\cos\rho_2+\frac{\cos\rho_3}2+\frac12\\&=\frac{\sqrt{13}+1}2\end{aligned}$이다.

[2-4]

부피가 최대가 되게 하는 구의 중심을 S, 그 반지름의 길이를 $\displaystyle r$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}$의 중점을 M, $\displaystyle \overline{\mathrm{LZ}}$의 연장선과 $\displaystyle \overline{\mathrm{KM}}$의 교점을 N이라 하자. 이 때, 평면 $\displaystyle x=1$로 자른 단면을 마지막 그림과 같이 좌표평면 위에 놓으면$\displaystyle \mathrm L(0,0)$, $\displaystyle \mathrm M(2,0)$, $\displaystyle \mathrm K(1,\sqrt2)$, $\displaystyle \mathrm Z\left(1,\frac{\sqrt2}5\right)$이다. 점 N은 $\displaystyle \overline{\mathrm{LZ}}$를 품는 직선 $\displaystyle y=\frac{\sqrt2}5x$와 $\displaystyle \overline{\mathrm{KM}}$를 품는 직선$\displaystyle y=-\sqrt2(x-2)$의 교점이므로 $\displaystyle \mathrm N=\left(\frac53,\frac{\sqrt2}3\right)$이다.따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{KL}}=\overline{\mathrm{LN}}=\sqrt3$, $\displaystyle \overline{\mathrm{NK}}=\frac2{\sqrt3}$이다. 한편,$\displaystyle \alpha=\angle\mathrm{LKI}$라 하면$\displaystyle \sin\alpha=\frac{\overline{\mathrm{LI}}}{\overline{\mathrm{KL}}}=\frac1{\sqrt3}$, $\displaystyle \cos\alpha=\frac{\overline{\mathrm{KI}}}{\overline{\mathrm{KL}}}=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}$이므로$\displaystyle \triangle\mathrm{KLN}=\frac12\overline{\mathrm{KL}}\,\overline{\mathrm{NK}}\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{2\sqrt2}3$이다.또한$\displaystyle \triangle\mathrm{KLN}=\frac12(\overline{\mathrm{KL}}+\overline{\mathrm{LN}}+\overline{\mathrm{NK}})r=\left(\sqrt3+\frac1{\sqrt3}\right)r$이므로$\displaystyle r=\frac1{\sqrt6}$이 되어 구의 표면적은 $\displaystyle 4\pi r^2=\frac{2\pi}3$이다.