자연계열 2번

[4-1]$\displaystyle a_1=1$은 분명하다. 이제 $\displaystyle n$을 $\displaystyle 2$이상의 자연수라 하자. 자연수 $\displaystyle i=1,2,\cdots,n-1$에 대하여 자연수 $\displaystyle k$가 $\displaystyle [\sqrt k]=i$이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle i^2\le k<(i+1)^2$이다. 그러므로 주어진 영역에 속하면서 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle k$(단, $\displaystyle i^2\le k<(i+1)^2$)인 정수점의 개수는 $\displaystyle i$개이며 $\displaystyle i^2\le k<(i+1)^2$를 만족하는 자연수 $\displaystyle k$의 개수는 $\displaystyle (2i+1)$이므로$\displaystyle a_n=\sum_{i=1}^{n-1}(2i+1)i+n=\frac{4n^3-3n^2+5n}6\quad(n\text{은 }2\text{이상의 자연수})$이다.$\displaystyle a_1=1=\left.\frac{4n^3-3n^2+5n}6\right|_{n=1}$이므로 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle a_n=\frac{4n^3-3n^2+5n}6$이다.

[4-2]문항 [4-1]에 의하여(*) $\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=1}^n\frac{a_k\cdot{}_nC_k}{k(k+1)}&=\sum_{k=1}^n\frac{4k^2-3k+5}{6(k+1)}{}_nC_k\\&=\sum_{k=1}^n\frac{4k(k+1)-7(k+1)+12}{6(k+1)}{}_nC_k\\&=\sum_{k=1}^n\left(\frac{2k}3-\frac76+\frac2{k+1}\right){}_nC_k\\&=\frac23\sum_{k=1}^nk\cdot{}_nC_k-\frac76\sum_{k=1}^n{}_nC_k+2\sum_{k=1}^n\frac{{}_nC_k}{k+1}\end{aligned}$이다. 제시문 [가]에 의해 등식 $\displaystyle 2^n=\sum_{k=0}^n{}_nC_k$이 성립하므로등식 (i): $\displaystyle \sum_{k=1}^n{}_nC_k=2^n-1$을 얻는다. 또한 전개식 $\displaystyle (1+x)^n=\sum_{k=0}^n{}_nC_kx^k$의 양변을 $\displaystyle x$에 대하여 미분한 후 $\displaystyle x=1$을 대입하면등식(ii): $\displaystyle n\cdot2^{n-1}=\sum_{k=1}^nk\cdot{}_nC_k$를 이끌어 낼 수 있다. 한편, 등식 $\displaystyle \int_0^1(1+x)^n\,dx=\int_0^1\sum_{k=0}^n{}_nC_kx^k\,dx$로부터 $\displaystyle \frac{2^{n+1}-1}{n+1}=\sum_{k=0}^n\frac{{}_nC_k}{k+1}$을 얻고, 이로부터등식(iii): $\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{{}_nC_k}{k+1}=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}-1=\frac{2^{n+1}-n-2}{n+1}$를 얻는다. 등식 (i), (ii), (iii)을 (*)에 대입하면$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=1}^n\frac{a_k\cdot{}_nC_k}{k(k+1)}&=\frac{2n\cdot2^{n-1}}3-\frac{7(2^n-1)}6+\frac{2(2^{n+1}-n-2)}{n+1}\\&=\frac{(2n^2-5n+17)2^n-5n-17}{6(n+1)}\end{aligned}$이므로$\displaystyle A(n)=\left(6(n+1)\sum_{k=1}^n\frac{a_k\cdot{}_nC_k}{k(k+1)}+5n+17\right)\cdot2^{-n}=2n^2-5n+17$이다.

[4-3]등식$\displaystyle {}_nC_k\cdot{}_{n-k}C_l=\frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot\frac{(n-k)!}{l!(n-k-l)!}=\frac{n!}{l!(n-l)!}\cdot\frac{(n-l)!}{k!(n-l-k)!}={}_nC_l\cdot{}_{n-l}C_k$가 성립하므로(∗∗) $\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^{n-l}(-1)^{n-k-l}{}_nC_k\cdot{}_{n-k}C_l={}_nC_l\sum_{k=1}^{n-l}(-1)^{n-l-k}{}_{n-l}C_k$이다. 한편, 다항식 $\displaystyle (x+y)^{n-l}$의 이항정리$\displaystyle (x+y)^{n-l}=\sum_{k=0}^{n-l}{}_{n-l}C_kx^ky^{n-l-k}$에 $\displaystyle x=1,y=-1$을 대입하면 $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-l}(-1)^{n-l-k}{}_{n-l}C_k=0$이므로$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-l}(-1)^{n-l-k}{}_{n-l}C_k=(-1)^{n-l+1}$임을 알 수 있다. 이 결과를 (∗∗)에 대입하면$\displaystyle a_n=(-1)^{n-l+1}{}_nC_l$이 된다. 그러므로$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}(-1)^n\frac{a_{2n}}{a_n}&=\lim_{n\to\infty}\frac{{}_{2n}C_l}{{}_nC_l}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{2n(2n-1)\cdots(2n-(l-1))}{n(n-1)\cdots(n-(l-1))}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{2\cdot\left(2-\frac1n\right)\cdots\left(2-\frac{l-1}n\right)}{1\cdot\left(1-\frac1n\right)\cdots\left(1-\frac{l-1}n\right)}\\&=2^l\end{aligned}$이다.

[4-4]A역과 B역 사이에 있는 $\displaystyle r$개의 역(A, B역 제외)을 A역에서 B역 방향으로 순서대로 1번역, 2번역, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle r$번역이라고 부르자. 편의상 B역은 $\displaystyle (r+1)$번역이라 하자. 이제 $\displaystyle x_1$을 첫 번째 도착역의 번호, $\displaystyle x_i$($\displaystyle i=2,3,\cdots,n,n+1$)를 $\displaystyle i$번째 도착한 역의 번호에서 $\displaystyle (i-1)$번째 도착한 역의 번호를 뺀 값이라 하자. 여기서 $\displaystyle (n+1)$번째 도착역은 B역이라고 하자. 문제의 가정에 의해 자연수 $\displaystyle i=2,3,\cdots,n$에 대해 $\displaystyle (i-1)$번째 도착한 역과 $\displaystyle i$번째 도착한 역 사이에는 적어도 $\displaystyle (i-1)$개의 역이 있으므로 $\displaystyle x_i\ge i$임을 알 수 있다. 그러면$\displaystyle x_1+x_2+\cdots+x_n+x_{n+1}=r+1$(단, $\displaystyle x_i\ge i$($\displaystyle 1\le i\le n$)이고 $\displaystyle x_{n+1}\ge1$)이제 $\displaystyle x_i=y_i+i$($\displaystyle 1\le i\le n$), $\displaystyle x_{n+1}=y_{n+1}+1$라고 두면 위 식은$\displaystyle y_1+y_2+\cdots+y_n+y_{n+1}=r+1-\left(\frac{n(n+1)}2+1\right)=r-\frac{n(n+1)}2$(단, $\displaystyle y_i\ge0$($\displaystyle 1\le i\le n+1$))이 된다. 그러므로 제시문 [나]에 의해 구하는 답은 $\displaystyle {}_{n+1}H_{r-\frac{n(n+1)}2}$이다. 한편$\displaystyle {}_{n+1}H_{r-\frac{n(n+1)}2}={}_{r-\frac{n(n+1)}2+n}C_{r-\frac{n(n+1)}2}={}_{r-\frac{n(n+1)}2+n}C_n={}_{r-\frac{n(n+1)}2+1}H_n$이므로 $\displaystyle {}_{r-\frac{n(n+1)}2+1}H_n$역시 답이 된다.