자연계열 1번

[3-1]$\displaystyle A$을 $\displaystyle 2\times2$행렬 $\displaystyle A=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$라 하자. 제시문 [나]에 따르면, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle A^n=\begin{pmatrix}\cos n\theta&-\sin n\theta\\\sin n\theta&\cos n\theta\end{pmatrix}$이다.그러므로 $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\cos k\theta$는 행렬 $\displaystyle S=I+A+A^2+\cdots+A^{n-1}$의 $\displaystyle (1,1)$성분과 같다. 한편,$\displaystyle \begin{aligned}(I-A)S&=S-AS\\&=(I+A+\cdots+A^{n-1})-(A+A^2+\cdots+A^n)\\&=I-A^n\end{aligned}$이고, $\displaystyle 0<\theta<2\pi$이므로 $\displaystyle I-A=\begin{pmatrix}1-\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&1-\cos\theta\end{pmatrix}$는 역행렬$\displaystyle (I-A)^{-1}=\frac1{2-2\cos\theta}\begin{pmatrix}1-\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&1-\cos\theta\end{pmatrix}$를 갖는다.따라서$\displaystyle \begin{aligned}S&=(I-A)^{-1}(I-A^n)\\&=\frac1{2-2\cos\theta}\begin{pmatrix}1-\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&1-\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1-\cos n\theta&\sin n\theta\\-\sin n\theta&1-\cos n\theta\end{pmatrix}\end{aligned}$이므로 $\displaystyle (1,1)$성분으로부터$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=0}^{n-1}\cos k\theta&=\frac1{2-2\cos\theta}\left((1-\cos\theta)(1-\cos n\theta)+\sin\theta\sin n\theta\right)\\&=\frac12(1-\cos n\theta)+\frac12\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}\sin n\theta\end{aligned}$를 얻는다.

[3-2]자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle S_{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1}\cos k\theta$라 하면, $\displaystyle 0<\theta<2\pi$인 $\displaystyle \theta$에 대하여 문항 [3-1]로부터$\displaystyle \begin{aligned}\cos n\theta&=S_n-S_{n-1}\\&=\left[\frac12\{1-\cos(n+1)\theta\}+\frac12\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}\sin(n+1)\theta\right]-\left[\frac12(1-\cos n\theta)+\frac12\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}\sin n\theta\right]\\&=\frac12\{\cos n\theta-\cos(n+1)\theta\}+\frac12\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}\{\sin(n+1)\theta-\sin n\theta\}\end{aligned}$이다. 이를 정리하면$\displaystyle \frac12\{\cos(n+1)\theta+\cos n\theta\}=\frac12\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}\{\sin(n+1)\theta-\sin n\theta\}$이므로(*) $\displaystyle (1-\cos\theta)(\cos(n+1)\theta+\cos n\theta)=\sin\theta(\sin(n+1)\theta-\sin n\theta)$가 성립한다.또한 (*)는 $\displaystyle \theta=0$인 경우에도 명백히 성립하고, 또한 사인 코사인 함수의 주기가 $\displaystyle 2\pi$이므로 (*)는 모든 실수에 대하여 성립한다.

[3-3]양의 실수 $\displaystyle a$에 대하여, 정적분의 정의로부터 $\displaystyle A(a)=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\cos\left(\frac{ak}n\right)$이므로 $\displaystyle n>\frac a{2\pi}$인 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 문항 [3-1]의 식에 $\displaystyle \theta=\frac an$를 대입하면(∗∗) $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\cos\left(\frac{ak}n\right)=\frac{1-\cos a}2+\frac{\sin a}2\frac{\sin\frac an}{1-\cos\frac an}$를 얻는다.따라서$\displaystyle \begin{aligned}A(a)&=\frac{1-\cos a}2\lim_{n\to\infty}\frac1n+\frac{\sin a}2\lim_{n\to\infty}\frac{\frac1n\sin\frac an}{1-\cos\frac an}\\&=\frac{\sin a}2\lim_{x\to0+}\frac{\frac xa\sin x}{1-\cos x}\\&=\frac{\sin a}{2a}\lim_{x\to0+}\frac{x\sin x}{1-\cos x}\frac{1+\cos x}{1+\cos x}\\&=\frac{\sin a}{2a}\lim_{x\to0+}\frac{1+\cos x}{\frac{\sin x}x}\\&=\frac{\sin a}{2a}\cdot\frac{1+1}1\\&=\frac{\sin a}a\end{aligned}$이다.

[3-4]$\displaystyle A(a)=\frac{\sin a}a$($\displaystyle a$는 양의 실수)이므로$\displaystyle A^{\prime}(a)=\frac{a\cos a-\sin a}{a^2}=\frac{\cos a(a-\tan a)}{a^2}=0$는 $\displaystyle a=\tan a$($\displaystyle \pi<a<\frac{3\pi}2$)일 때만 가능하다. 이제 $\displaystyle h(a)=\tan a-a$($\displaystyle \pi<a<\frac{3\pi}2$)라 하면 $\displaystyle A^{\prime}(a)$와 $\displaystyle h(a)$의 부호는 항상 같다.$\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$를 이용하면,$\displaystyle \tan\frac{4\pi}9=\tan\left(\frac\pi3+\frac\pi9\right)=\frac{\tan\frac\pi3+\tan\frac\pi9}{1-\tan\frac\pi3\tan\frac\pi9}=\frac{\sqrt3+\tan\frac\pi9}{1-\sqrt3\tan\frac\pi9}\doteq\frac{1.732+0.364}{1-1.732\times0.364}>5$이다. 이제 $\displaystyle h$는 닫힌구간 $\displaystyle \left[\frac{12\pi}9,\frac{13\pi}9\right]$에서 연속이고,$\displaystyle h\left(\frac{13\pi}9\right)=\tan\frac{4\pi}9-\frac{13\pi}9>5-\frac{13\times3.2}9>0,$$\displaystyle h\left(\frac{12\pi}9\right)=\tan\frac\pi3-\frac{4\pi}3=\sqrt3-\frac{4\pi}3<0$이므로 중간값 정리에 의하여 열린구간 $\displaystyle \left(\frac{12\pi}9,\frac{13\pi}9\right)$에서 $\displaystyle h(a)=0$인 $\displaystyle a=\alpha$를 갖는다.따라서 이 구간에 $\displaystyle A^{\prime}(a)=0$인 $\displaystyle a=\alpha$가 존재한다.그런데, 열린 구간 $\displaystyle \left(\pi,\frac{3\pi}2\right)$에서 $\displaystyle h^{\prime}(a)=\sec^2a-1=\tan^2a>0$이므로 $\displaystyle h(a)$는 증가함수이고, $\displaystyle h(\alpha)=0$이므로 $\displaystyle \pi<a<\alpha$에서 음의 값, $\displaystyle \alpha<a<\frac{3\pi}2$에서 양의 값을 가진다.그러므로 $\displaystyle \frac{12\pi}9<a<\alpha$에서 $\displaystyle A^{\prime}(a)<0$이고, $\displaystyle \alpha<a<\frac{13\pi}9$에서 $\displaystyle A^{\prime}(a)>0$이다.따라서 $\displaystyle a=\alpha$는 열린구간 $\displaystyle \left(\frac{12\pi}9,\frac{13\pi}9\right)$에서 $\displaystyle A(a)$는 단 하나의 극소점을 갖는다.