자연계열 1번

[1–1] $\displaystyle x\ne0$에 대하여 $\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{\sqrt{|x|}(e^x-1)\cos\frac1x}x=\frac{e^x-1}x\cdot\sqrt{|x|}\cos\frac1x$이다.$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}x=1$이고 $\displaystyle \lim_{x\to0}\sqrt{|x|}\cos\frac1x=0$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}x=0$이 존재한다.따라서 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 미분가능하다.이때 $\displaystyle -\sqrt{|x|}\le\sqrt{|x|}\cos\frac1x\le\sqrt{|x|}$이고 $\displaystyle \lim_{x\to0}\sqrt{|x|}=0$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to0}\sqrt{|x|}\cos\frac1x=0$임을 사용하였다.

[1–2] $\displaystyle x\le-\frac1{2\pi}$에 대하여 $\displaystyle \sqrt{|x|}>0$, $\displaystyle e^x-1<0$이므로 $\displaystyle \sqrt{|x|}(e^x-1)\cos\frac1x<0$이기 위해서는 $\displaystyle \cos\frac1x>0$이어야 한다.$\displaystyle \frac1x=t$라 놓으면 $\displaystyle -2\pi\le t<0$이며 $\displaystyle \cos t>0$이어야 한다.따라서, $\displaystyle -2\pi\le t<-\frac{3\pi}2$ 또는 $\displaystyle -\frac\pi2<t<0$, 즉, $\displaystyle -\frac2{3\pi}<x\le-\frac1{2\pi}$ 또는 $\displaystyle x<-\frac2\pi$이다.

[1–3] (i) $\displaystyle n=1$인 경우함수 $\displaystyle f(x)$가 닫힌 구간 $\displaystyle \left[\frac2{3\pi},\frac2\pi\right]$에서 연속이므로 최대·최소 정리에 의하여 $\displaystyle \left[\frac2{3\pi},\frac2\pi\right]$에서 최댓값과 최솟값을 가진다. 그런데, 구간의 양 끝점에서 함숫값이 $\displaystyle f\left(\frac2{3\pi}\right)=0=f\left(\frac2\pi\right)$로 같으므로 열린 구간 $\displaystyle \left(\frac2{3\pi},\frac2\pi\right)$에 속하는 $\displaystyle x=c$에서 최댓값 또는 최솟값을 갖는다. 따라서 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=c$에서 극값을 가진다.그러므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 열린 구간 $\displaystyle \left(\frac2{3\pi},\frac2\pi\right)$의 적어도 한 점에서 극값을 가진다.(ii) $\displaystyle n=2$인 경우(i)에 의하여 함수 $\displaystyle f(x)$는 열린 구간 $\displaystyle \left(\frac2{3\pi},\frac2\pi\right)$의 적어도 한 점에서 극값을 가진다.또한 함수 $\displaystyle f(x)$가 닫힌 구간 $\displaystyle \left[\frac2{5\pi},\frac2{3\pi}\right]$에서 연속이므로 최대·최소 정리에 의하여 $\displaystyle \left[\frac2{5\pi},\frac2{3\pi}\right]$에서 최댓값과 최솟값을 가진다. 그런데, 구간의 양 끝점에서 함숫값이 $\displaystyle f\left(\frac2{5\pi}\right)=0=f\left(\frac2{3\pi}\right)$로 같으므로 열린 구간 $\displaystyle \left(\frac2{5\pi},\frac2{3\pi}\right)$에 속하는 $\displaystyle x=c$에서 최댓값 또는 최솟값을 갖는다. 따라서 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=c$에서 극값을 가지므로 $\displaystyle f(x)$는 열린 구간 $\displaystyle \left(\frac2{5\pi},\frac2{3\pi}\right)$의 적어도 한 점에서 극값을 가진다.그러므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle \left(\frac2{5\pi},\frac2\pi\right)$의 적어도 두 점에서 극값을 가진다.(iii) $\displaystyle n=3$인 경우(ii)에 의하여 함수 $\displaystyle f(x)$는 열린 구간 $\displaystyle \left(\frac2{5\pi},\frac2\pi\right)$의 적어도 두 점에서 극값을 가진다.또한 함수 $\displaystyle f(x)$가 닫힌 구간 $\displaystyle \left[\frac2{7\pi},\frac2{5\pi}\right]$에서 연속이므로 최대최소 정리에 의하여 $\displaystyle \left[\frac2{7\pi},\frac2{5\pi}\right]$에서 최댓값과 최솟값을 가진다. 그런데, 구간의 양 끝점에서 함숫값이 $\displaystyle f\left(\frac2{7\pi}\right)=0=f\left(\frac2{5\pi}\right)$로 같으므로 열린 구간 $\displaystyle \left(\frac2{7\pi},\frac2{5\pi}\right)$에 속하는 $\displaystyle x=c$에서 최댓값 또는 최솟값을 갖는다.따라서 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=c$에서 극값을 가지므로 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle \left(\frac2{7\pi},\frac2{5\pi}\right)$의 적어도 한 점에서 극값을 가진다. 그러므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle \left(\frac2{7\pi},\frac2\pi\right)$의 적어도 세 점에서 극값을 가진다.위의 과정을 반복하면, 함수 $\displaystyle f(x)$는 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 열린 구간 $\displaystyle \left(\frac2{(2n+1)\pi},\frac2\pi\right)$의 적어도 $\displaystyle n$개의 점에서 극값을 가진다.

[1–4] $\displaystyle y=g(x)$와 $\displaystyle y=F(x)$의 그래프 위에 있는 점 $\displaystyle (1,0)$에서의 접선과 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 $\displaystyle \theta_1,\theta_2$라고 하자. $\displaystyle g^{\prime}(x)=xe^{x-1}$이므로 $\displaystyle \tan\theta_1=g^{\prime}(1)=1$이고 적분과 미분의 관계에 의하여 $\displaystyle \tan\theta_2=F^{\prime}(1)=f(1)=\alpha$이다.따라서 $\displaystyle |\tan\theta|=|\tan(\theta_1-\theta_2)|=\left|\frac{\tan\theta_1-\tan\theta_2}{1+\tan\theta_1\tan\theta_2}\right|=\left|\frac{1-\alpha}{1+\alpha}\right|$이다.그러므로 $\displaystyle \begin{aligned}\cos2\theta&=\cos(\theta+\theta)=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=\frac2{\sec^2\theta}-1=\frac2{1+\tan^2\theta}-1=\frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}\\&=\frac{1-\left(\frac{1-\alpha}{1+\alpha}\right)^2}{1+\left(\frac{1-\alpha}{1+\alpha}\right)^2}=\frac{(1+\alpha)^2-(1-\alpha)^2}{(1+\alpha)^2+(1-\alpha)^2}=\frac{2\alpha}{1+\alpha^2}\end{aligned}$이다.